De arccosinus , ook boogcosinus , aangeduid door a c o s , arccos , b g c o s {\displaystyle \mathrm {acos} ,\ \arccos ,\ \mathrm {bgcos} } [1] of cos − 1 {\displaystyle \cos ^{-1}} ,[2] is een cyclometrische functie in de wiskunde die de inverse functie is van de cosinus . Het bereik wordt beperkt tot het interval [ 0 , π ] {\displaystyle [0,\pi ]} , wat nodig is vanwege het periodieke karakter van de sinus. Het resultaat van de arcsinus is de hoek tussen − π / 2 {\displaystyle -\pi /2} en π / 2 {\displaystyle \pi /2} waarvan de sinus het argument als waarde heeft. Het domein is [-1,1] en het bereik is [ 0 , π ] {\displaystyle [0,\pi ]} .
De grafiek van y = arccos x {\displaystyle y=\arccos x} is het spiegelbeeld van de grafiek van de beperkte cosinus ten opzichte van de rechte y = x {\displaystyle y=x} .
De functie arccos {\displaystyle \arccos } is gedefinieerd voor x ∈ [ − 1 , 1 ] {\displaystyle x\in [-1,1]} door de relatie
arccos ( x ) = α ⟺ α ∈ [ 0 , π ] en cos ( α ) = x {\displaystyle \arccos(x)=\alpha \quad \Longleftrightarrow \quad \alpha \in [0,\pi ]{\mbox{ en }}\cos(\alpha )=x} In woorden: de hoek of boog waarvan de cosinus x {\displaystyle x} is, is gelijk aan α {\displaystyle \alpha } .
Vanwege de relatie tussen de sinus en de cosinus geldt:
arccos ( x ) + arcsin ( x ) = 1 2 π {\displaystyle \arccos(x)+\arcsin(x)={\tfrac {1}{2}}\pi } De arccosinus heeft de reeksontwikkeling :
arccos ( x ) = π 2 − ∑ n = 0 ∞ Γ ( n + 1 2 ) π ( 2 n + 1 ) n ! x 2 n + 1 {\displaystyle \arccos(x)={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+{\frac {1}{2}})}{{\sqrt {\pi }}(2n+1)n!}}x^{2n+1}} Daarin is Γ {\displaystyle \Gamma } de gammafunctie .
De afgeleide van de arccosinus is:
d d x arccos ( x ) = − 1 1 − x 2 {\displaystyle {{\rm {d}} \over {\rm {d}}x}\arccos(x)={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}} voor x ∈ ( − 1 , 1 ) {\displaystyle x\in (-1,1)}
Voetnoten
↑ Niet internationaal erkend. ↑ Afgeraden, wegens de mogelijke verwarring met 1/cos.