In de groepentheorie, een deelgebied van de abstracte algebra, is de grothendieck-groep van een gegeven commutatieve halfgroep een in een bepaald opzicht kleinste abelse groep die de gegeven halfgroep omvat. Dat houdt in dat elke abelse groep die een homomorf beeld van de gegeven halfgroep
bevat, ook een homomorf beeld van de grothendieck-groep
van
bevat.
De grothendieck-groep ontleent zijn naam aan de meer algemene constructie in de categorietheorie, die door Alexander Grothendieck in het midden van de jaren 1950 werd geïntroduceerd in zijn fundamentele werk, dat resulteerde in de ontwikkeling van de K-theorie. wat leidde tot zijn bewijs van de stelling van Grothendieck-Riemann-Roch.
De grothendieck-groep kan beschreven worden met behulp van de zogeheten universele eigenschap:
Bij iedere commutatieve halfgroep
is er een abelse groep
en een halfgroephomomorfisme
waarvoor geldt dat bij iedere groep
en ieder halfgroephomomorfisme
precies één groepshomomorfisme
is met
.
De grothendieck-groep
van de commutatieve halfgroep
is bepaald door de volgende constructie. Op het cartesisch product
is een equivalentierelatie gegeven door:
![{\displaystyle (a_{1},b_{1})\sim (a_{2},b_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70f8b0c3b2e2dfa7304e217a941afa4333c7d278)
als er een
is, waarvoor
![{\displaystyle a_{1}+b_{2}+c=a_{2}+b_{1}+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81984ac7eeebaf94b7266d2d90d9ec0996489423)
Dat dit een equivalentierelatie is, laat zich gemakkelijk bewijzen. De equivalentieklassen
vormen de grothendieck-groep:
,
met als groepsbewerking:
,
als neutraal element de klasse
![{\displaystyle [(a,a)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f10a03c6d83c76ad0d4a4e5c3294f479be3de1fc)
en als tegengestelde
![{\displaystyle -[(a,b)]=[(b,a)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/466dfe87e5f9c24df43b9be299c312f449db20db)
Met het halfgoephomomorfisme
, gedefinieerd door:
,
voldoen
en
aan de voorwaarden van de universele eigenschap.
De genoemde relatie is inderdaad een equivalentierelatie, want:
, aangezien ![{\displaystyle a+b+a=a+b+a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44102e5c59505292884c52c2b576defea091f20a)
- als
, dan ook
, aangezien ![{\displaystyle a_{1}+b_{2}+c=a_{2}+b_{1}+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81984ac7eeebaf94b7266d2d90d9ec0996489423)
- als
en
, zijn er
met
en
, zodat
, en dus ![{\displaystyle (a_{1},b_{1})\sim (a_{3},b_{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fa2fc3bf284d920314d01d40508185730873e9d)
De geconstrueerde grothendieck-groep
is inderdaad een abelse groep, want de groepsbewerking is commutatief, aangezien
commutatief is, en
![{\displaystyle [(a,b)]+[(c,c)]=[(a+c,b+c)]=[(a,b)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28d74f5bb98d04fda5ff67358bc001f68d1820e9)
, dus het neutrale element
De groep
en het groepshomomorfime
voldoen aan de universele eigenschap.
Stel namelijk dat voor
![{\displaystyle \phi \colon H\to G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9f1f099f4449260914a3a63eaa93f0007d8d6ca)
![{\displaystyle \psi \colon {\mathcal {G}}(H)\to G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1565283acbffa7e730ddfff4b482662f8fcdbcb)
![{\displaystyle \psi '\colon {\mathcal {G}}(H)\to G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbc2ecf8eefebe857c8f644c590a2a7f57a551fe)
geldt
![{\displaystyle \phi =\psi \circ \phi _{H}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82cc313d1c84ca279363611c2f426700c2df6b5b)
en ook
![{\displaystyle \phi =\psi '\circ \phi _{H}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6f0f30354c24ce9683d7c7e5b10fcff1663225b)
dus
![{\displaystyle \phi (a)=\psi \circ \phi _{H}(a)=\psi ([a+a,a])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccc6486d5f9e3bf032816b31617397946bc2705d)
en
![{\displaystyle \phi (a)=\psi '\circ \phi _{H}(a)=\psi '([a+a,a])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dce3b614915db4d2fc387179d003cb34375cb77)
Dan is
![{\displaystyle \psi '([a,b])=\psi '([a+a+b,b+a+b])=\psi '([a+a,a]+[b,b+b])=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62e4f7bfc0e308709155d62a6052f8acd511d0e0)
![{\displaystyle =\psi '([a+a,a]-\psi '([b+b,b])=\psi ([a+a,a])-\psi ([b+b,b])=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4cc289ef72d480839f2423fd5602e24bd9cbb8f)
![{\displaystyle =\psi ([a+a,a])+\psi ([b,b+b])=\psi ([a+a+b,a+b+b])=\psi ([a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30ea2001dc84b7bed813a05d5a53d68a25ba8c3c)
dus
![{\displaystyle \psi '=\psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb71d56f01e753862d328653bb08a46dfc7d5cb)