Legendre-polynoom

In de wiskunde is een legendre-polynoom een oplossing van de differentiaalvergelijking van Legendre. Soms echter bedoelt men de geassocieerde legendre-polynoom.

De vergelijking waarvan de polynomen een oplossing vormen luidt:

${\displaystyle {{\rm {d}} \over {\rm {d}}x}\left[(1-x^{2}){{\rm {d}} \over {\rm {d}}x}P(x)\right]+n(n+1)P(x)=0}$

Beide zijn vernoemd naar de Franse wiskundige Adrien-Marie Legendre. De vergelijking komt regelmatig voor in de natuurkunde en de toegepaste wetenschappen, omdat de laplace-vergelijking in bolcoördinaten de gedaante van deze differentiaalvergelijking van Legendre heeft (althans voor rotatie-symmetrische gevallen, voor de θ-afhankelijkheid, waarbij θ de polaire hoek is)^[1].

Een standaardmethode voor de oplossing van deze vergelijking is ontwikkeling van een machtreeks. De oplossing convergeert wanneer ${\displaystyle |x|<1}$. Bovendien is de waarde eindig voor ${\displaystyle x=\pm 1}$, vooropgesteld dat ${\displaystyle n}$ een niet-negatief geheel getal is. In dat geval vormen de oplossingen van de vergelijking een reeks van orthogonale polynomen, de legendre-polynomen

Iedere legendre-polynoom ${\displaystyle P_{n}(x)}$ is een veelterm van graad ${\displaystyle n}$ en kan uitgedrukt worden met de formule van Rodrigues:

${\displaystyle P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{{\rm {d}}^{n} \over {\rm {d}}x^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right]}$

Een belangrijke eigenschap van de legendre-polynomen is dat zij, zoals hierboven reeds vermeld, orthogonaal zijn met betrekking tot het ${\displaystyle L^{2}}$ inproduct op het interval ${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,{\rm {d}}x={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}}$

Daarin is ${\displaystyle \delta _{mn}}$ de kronecker-delta die gelijk is aan 1 als ${\displaystyle m=n}$ en anders nul.

Een andere manier om de polynomen af te leiden is gebruik te maken van de gram-schmidtmethode op het inproduct van de polynomen ${\displaystyle \{1,x,x^{2},\ldots \}}$ De reden voor de orthogonaliteit van de polynomen is dat de legendre-vergelijking gezien kan worden als een sturm-liouvillevraagstuk

${\displaystyle {{\rm {d}} \over {\rm {d}}x}\left[(1-x^{2}){{\rm {d}} \over {\rm {d}}x}\right]P(x)=-\lambda P(x)}$,

waar de eigenwaarde ${\displaystyle \lambda }$ overeenkomt met ${\displaystyle n(n+1)}$.

Een andere belangrijke eigenschap van legendre-polynomen stelt dat:

${\displaystyle \int \limits _{-1}^{1}f(x)P_{n}(x)\mathrm {d} x=0}$

zodra ${\displaystyle f(x)}$ een veelterm is van graad strikt kleiner dan ${\displaystyle n}$.

De eerste legendre-polynomen zijn:

${\displaystyle n}$	${\displaystyle P_{n}(x)}$	normalisatiefactor
0	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$
1	${\displaystyle x}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{2}}}}$
2	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}}$
3	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {7}{2}}}}$
4	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {9}{2}}}}$
5	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {11}{2}}}}$
6	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {13}{2}}}}$

In de onderstaande figuur staan de grafieken van de eerste zes legendre-polynomen.

Legendre-polynomen bewijzen hun nut bij de reeksontwikkeling van functies zoals

${\displaystyle {\frac {1}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime }\right|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+r^{\prime 2}-2rr'\cos \gamma }}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {r^{\prime k}}{r^{k+1}}}P_{k}(\cos \gamma )}$

hierbij zijn ${\displaystyle r}$ en ${\displaystyle r'}$ respectievelijk de lengte van de vectoren ${\displaystyle \mathbf {x} }$ en ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\prime }}$ en ${\displaystyle \gamma }$ is de hoek tussen de beide vectoren. Deze ontwikkeling is geldig als ${\displaystyle r>r'}$.

Deze uitdrukking wordt bijvoorbeeld gebruikt om de potentiaal van een puntlading te vinden zoals deze ondervonden wordt in het punt ${\displaystyle \mathbf {x} }$ wanneer de lading zich op punt ${\displaystyle \mathbf {x} '}$ bevindt. De ontwikkeling is vooral van nut wanneer men een integraal over een continue ladingsverdeling wil berekenen.

Legendre-polynomen komen voor als oplossingen van de laplace-vergelijking en de poissonvergelijking voor de potentiaal ${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {x} )}$, indien bolcoördinaten worden gebruikt. Daarbij wordt gebruikgemaakt van de methode van scheiding van variabelen en wordt axiale symmetrie verondersteld, zodat er geen afhankelijkheid is van de azimuthale hoek. ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {z} }}}$ staat voor de symmetrieas en ${\displaystyle \theta }$ is de hoek tussen de waarnemer en de as ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {z} }}}$. De oplossing is dan:

${\displaystyle \Phi (r,\theta )=\sum _{k=0}^{\infty }\left[A_{k}r^{k}+B_{k}r^{-(k+1)}\right]P_{k}(\cos \theta )}$

${\displaystyle A_{k}}$ and ${\displaystyle B_{k}}$ moeten voor de randvoorwaarden van het betreffende probleem bepaald worden ^[2].

De legendre-polynoom is ook van nut bij een reeksontwikkeling van de vorm

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+\eta ^{2}-2\eta x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\eta ^{k}P_{k}(x)}$

In feite is dit dezelfde ontwikkeling als hierboven in een wat andere vorm die voortvloeit uit de reeksontwikkeling van multipolen. De linkerzijde van de vergelijking genereert legendre-polynomen

Bijvoorbeeld, de elektrische potentiaal ${\displaystyle \Phi (r,\theta )}$ in bolcoördinaten die voortvloeit uit een puntlading op de ${\displaystyle z}$-as in het punt ${\displaystyle z=a}$ (Fig. 2) is te schrijven als

${\displaystyle \Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{R}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+a^{2}-2ar\cos \theta }}}}$

Als de straal ${\displaystyle r}$ vanaf het punt van waarneming ${\displaystyle \mathbf {P} }$ veel groter is dan ${\displaystyle a}$, is het mogelijk de potentiaal te ontwikkelen tot legendre-polynomen:

${\displaystyle \Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{r}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a}{r}}\right)^{k}P_{k}(\cos \theta )}$

hierbij is ${\displaystyle \eta =a/r<1}$ ${\displaystyle x=\cos \theta }$ genomen.

In het omgekeerde geval ${\displaystyle r\ll a}$ kunnen we ook ontwikkelen tot een legendre-polynoom, wanneer we de rol van ${\displaystyle r}$ en ${\displaystyle a}$ omkeren:

Legendre-polynomen zijn om en om symmetrisch en antisymmetrisch:

${\displaystyle P_{k}(-x)=(-1)^{k}P_{k}(x)}$

Aangezien de differentiaalvergelijking en de orthogonaliteit onafhankelijk zijn van de schaal zijn is de veelterm van nature gestandaardiseerd. Dit betekent dat ${\displaystyle P_{k}(1)=1}$.

Soms noemt men dit genormaliseerd, maar dit is wat verwarrend omdat de norm niet een is, immers:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,\mathrm {d} x={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}}$

Een orthonormale versie van de polynoom kan verkregen worden door toevoeging van een normalisatiefactor ${\displaystyle {\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}}$

${\displaystyle P_{n,norm}(x)={{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}} \over 2^{n}n!}{{\rm {d}}^{n} \over {\rm {d}}x^{n}}(x^{2}-1)^{n}}$

De afgeleide aan de eindpunten wordt gegeven door:

${\displaystyle P_{k}'(1)={\frac {k(k+1)}{2}}}$

Legendre-polynomen kunnen opgebouwd worden door gebruik te maken van de relaties

${\displaystyle (n+1)P_{n+1}=(2n+1)xP_{n}-nP_{n-1}}$

en

${\displaystyle {x^{2}-1 \over n}{{\rm {d}} \over {\rm {d}}x}P_{n}=xP_{n}-P_{n-1}}$

Een nuttige uitdrukking bij het integreren van de veelterm is:

${\displaystyle (2n+1)P_{n}={{\rm {d}} \over {\rm {d}}x}\left[P_{n+1}-P_{n-1}\right]}$