Oplossen van vergelijkingen

Het oplossen van vergelijkingen is een term uit de wiskunde die aangeeft hoe de waarde(n) van onbekenden bepaald worden uit een of meer vergelijkingen. Een vergelijking bestaat daarbij uit twee wiskundige uitdrukkingen die aan elkaar gelijkgesteld zijn.

Algebraïsche vergelijkingen heten oplosbaar door middel van worteltrekking als het mogelijk is de oplossingen van deze vergelijkingen te berekenen door uitsluitend gebruik te maken van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en worteltrekken. Voor de vergelijkingen van graad een tot vier bestaan er inderdaad dergelijke oplossingsmethodes. Voor vergelijkingen van graad vijf of hoger bestaan zulke algemene oplossingsmethodes niet. Wel kunnen benaderingsmethodes gebruikt worden, of kunnen er speciale methodes gebruikt worden, die op zijn minst in sommige gevallen resultaat opleveren.

Dat we weten dat iedere polynoomvergelijking van de n-de graad n complexe wortels heeft, geeft nog geen expliciete uitdrukking voor die wortels.

Voor n = 1 is de oplossing eenvoudig: de polynoomvergelijking ax + b = 0 met (a ≠ 0) heeft de wortel −b/a.

Voor n = 2 wisten Arabische geleerden uit de Middeleeuwen al dat de polynoom ax² + bx + c (a ≠ 0) met reële coëfficiënten (een kwadratische functie) geen, een of twee reële nulpunten heeft al naargelang de discriminant ${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$ negatief, 0 of positief is. In het algemene, complexe geval hebben de twee nulpunten de waarden

${\displaystyle x_{1,2}={{-b\pm {\sqrt {D}}} \over {2a}}}$

(zie verder vierkantsvergelijking)

Voor n = 3 en n = 4 bestaan sinds de Renaissance gelijkaardige, zij het wat ingewikkelder, expliciete oplossingsmethoden, zie bijvoorbeeld de derdegraadsvergelijking. Lange tijd bleven wiskundigen zich het hoofd breken over de algemene oplossingsmethode van de vijfdegraadsvergelijking, totdat Niels Henrik Abel bewees dat een dergelijke oplossingsmethode niet bestaat. Moderne bewijzen van de stelling van Abel worden meestal gegeven aan de hand van de Galoistheorie.

Gegeven is de functie ${\displaystyle f(x)=2x+6}$. Bereken de coördinaten van het snijpunt A van de grafiek van de functie met de x-as.

• 1. In het punt A geldt ${\displaystyle f(x)=0}$; dus:

${\displaystyle 2x+6=0}$

• 2. Van beide kanten ${\displaystyle 6}$ aftrekken:

${\displaystyle 2x=-6}$

• 3. Beide kanten delen door ${\displaystyle 2}$:

${\displaystyle {\frac {2x}{2}}={\frac {-6}{2}}}$

${\displaystyle x=-3}$

• 4. Controle:

${\displaystyle 2(-3)+6=0}$

• 5. Conclusie:

De grafiek van de functie ${\displaystyle f}$ snijdt de x-as in het punt A = (-3, 0).

Deze manier van oplossen van een vergelijking wordt ook wel de balansmethode genoemd. De waarde links en rechts van het gelijkteken moet in balans blijven. Anders gezegd: er moet telkens eenzelfde type bewerking op beide leden van de vergelijking worden toegepast.

In de wiskunde gebruiken we vergelijkingen bijvoorbeeld om een kromme in een tweedimensionaal coördinatensysteem vast te leggen.

Voor het vastleggen van een lijn in een 2-dimensionaal systeem wordt een lineaire vergelijking gebruikt. Om het snijpunt van 2 lijnen te berekenen moet de oplossing worden gezocht van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden. Elk van beide lijnen wordt namelijk gerepresenteerd door een lineaire betrekking tussen de coördinaten x en y. Het snijpunt van de beide lijnen heeft coördinaten x en y die aan beide vergelijkingen voldoen.

Met uitzondering van evenwijdige lijnen, hebben twee rechte lijnen altijd een snijpunt. Als we het snijpunt willen weten, kunnen we de grafiek tekenen, maar dat kost erg veel tijd en veel papier als het snijpunt erg "ver" ligt. Om het snijpunt te vinden is het handiger de twee lineaire vergelijkingen op te lossen.

Beschouw twee lijnen die zijn gegeven door de betrekkingen: ${\displaystyle y=3x-6}$ en ${\displaystyle y=x-5}$. Om het snijpunt te vinden vatten we deze betrekkingen op als twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y, die nu de coördinaten van het snijpunt voorstellen:

${\displaystyle y=3x-6\,}$

${\displaystyle y=x-5\,}$

Er zijn verschillende systematische oplossingsmethoden voor zulke vergelijkingen. Omdat hier voor y al twee uitdrukkingen staan, ligt het voor de hand om die aan elkaar gelijk te stellen en y te elimineren:

${\displaystyle 3x-6=x-5\,}$,

waaruit direct volgt:

${\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}}$.

Door deze waarde in te vullen in een van de beide vergelijkingen, vinden we:

${\displaystyle y=-4{\tfrac {1}{2}}}$.

Het punt ${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},-4{\tfrac {1}{2}})}$ is dus het gezochte snijpunt.

Het oplossen van de derde- en vierdegraadsvergelijkingen gaat met behulp van elementaire symmetrische polynomen. Voor derdegraadsvergelijkingen leidt dit tot de formule van Cardano.

Een irrationale vergelijking is een vergelijking waarin de onbekende onder een wortelteken voorkomt.

Zo zijn ${\displaystyle 1+{\sqrt {x^{2}-9}}=x}$ en ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x^{2}-9}}=x}$ irrationale vergelijkingen, terwijl de vergelijking ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}+x^{2}-{\sqrt {19}}=x}$ dat niet is.

Twee vergelijkingen heten gelijkwaardig als ze dezelfde oplossingenverzameling hebben. Zo zijn de vergelijkingen ${\displaystyle x^{2}-4x-5=0}$ en ${\displaystyle (x-2)^{2}=9}$ gelijkwaardig. Die gelijkwaardigheid wordt aangeduid met het symbool " ${\displaystyle \,\Leftrightarrow \,}$ ". Dus ${\displaystyle x^{2}-4x-5=0\,\Leftrightarrow \,(x-2)^{2}=9}$.

Als beide leden van een vergelijking gekwadrateerd worden, krijgt men een nieuwe vergelijking die heel dikwijls niet gelijkwaardig is met de oorspronkelijke. De vergelijkingen ${\displaystyle (x-2)=3}$ en ${\displaystyle (x-2)^{2}=9}$ zijn niet gelijkwaardig. Elke oplossing van de eerste is ook oplossing van de tweede, maar niet omgekeerd. Dit wordt symbolisch weergegeven door de uitdrukking ${\displaystyle (x-2)=3\Rightarrow (x-2)^{2}=9}$. De "gekwadrateerde" vergelijking heeft de oplossingen van de oorspronkelijke vergelijking, maar over het algemeen heeft die vergelijking er nog andere.

Een vergelijking wordt veelal opgelost door achtereenvolgens de vergelijking te vervangen door gelijkwaardige vergelijkingen tot de oplossing voor de hand ligt.

Los op: ${\displaystyle {\sqrt {3x-2}}=7-{\sqrt {x-5}}}$

Om de vergelijking op te lossen moeten de wortelvormen weggewerkt worden. Als beide leden gekwadrateerd worden is er al een wortelvorm minder maar de nieuwe vergelijking kan meer oplossingen hebben dan de oorspronkelijke. Dit probleem kan vermeden worden door voorwaarden in de vorm van ongelijkheden aan de berekeningen toe te voegen, bv. ${\displaystyle 3x-2\geq 0}$. Een andere methode is de nu volgende. De voorwaarden worden weggelaten maar we onthouden dat we uiteindelijk waarden voor x kunnen vinden die geen oplossing zijn van de gegeven vergelijking. Men noemt dit parasitaire oplossingen. Het is voldoende alle gevonden oplossingen te testen in de gegeven vergelijking om de parasitaire oplossingen van de echte oplossingen te scheiden. In dit voorbeeld krijgt men :

${\displaystyle {\sqrt {3x-2}}=7-{\sqrt {x-5}}}$

${\displaystyle \Rightarrow 3x-2=(7-{\sqrt {x-5}})^{2}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 2x-46=-14{\sqrt {x-5}}}$

Nogmaals beide leden kwadrateren en dan uitwerken. Er komt

${\displaystyle \Rightarrow x^{2}-95x+774=0}$

De oplossingen van die laatste vergelijking zijn ${\displaystyle x=9}$ en ${\displaystyle x=86}$. Deze oplossingen worden nu getest in de gegeven vergelijking. Alleen ${\displaystyle x=9}$ is de enige oplossing van de oorspronkelijke vergelijking, de waarde 86 is een parasitaire oplossing en moet geschrapt worden.

Los op: ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2x-5}}=3}$

Voor reële getallen ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ is de vergelijking ${\displaystyle a=b}$ gelijkwaardig met ${\displaystyle a^{3}=b^{3}}$. Dit betekent dat het probleem omtrent de parasitaire oplossingen, dat zich voordoet in het vorige voorbeeld, hier niet kan optreden. Er geldt dus:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2x-5}}=3\Leftrightarrow 2x-5=27\Leftrightarrow x=16}$

Los op: ${\displaystyle 1+{\sqrt {x^{2}-9}}=x}$

Isoleer eerst de wortelvorm:

${\displaystyle \Leftrightarrow {\sqrt {x^{2}-9}}=x-1}$

${\displaystyle \Rightarrow x^{2}-9=(x-1)^{2}}$

Na uitwerken en vereenvoudigen vindt men x = 5. Het is niet omdat dit de enige oplossing van die laatste vergelijking is, dat dit geen parasitaire oplossing kan zijn. Dus we toetsen 5 aan de gegeven vergelijking en zien dat het een echte oplossing is

Een goniometrische vergelijking is een vergelijking waarbij een onbekende deel uitmaakt van het argument van een of meer goniometrische functies.

Voorbeelden:

• ${\displaystyle \cos(10x)+7=8\cos(5x)}$
• ${\displaystyle \sin(5x)+\sin(3x)=\cos(2x)-\cos(6x)}$
• ${\displaystyle 2\cos ^{3}x+2\sin ^{2}x\cos x=5\sin x\cos ^{2}x}$

We starten met vier basisvaststellingen. Daarna wordt aangetoond dat heel veel goniometrische vergelijkingen opgelost kunnen worden door ze te herleiden tot een van deze basisvormen.

Met behulp van een goniometrische cirkel kan ingezien worden dat voor variabelen u en v geldt:

• ${\displaystyle \cos u=\cos v\Leftrightarrow (u=v+2k\pi )\quad {\text{of}}\quad (u=-v+2k\pi )\quad {\text{ voor een }}k\in \mathbb {Z} }$
• ${\displaystyle \sin u=\sin v\Leftrightarrow (u=v+2k\pi )\quad {\text{of}}\quad (u=\pi -v+2k\pi ){\text{ voor een }}k\in \mathbb {Z} }$
• ${\displaystyle \tan u=\tan v\Leftrightarrow (u=v+k\pi )}$ voor een ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ op voorwaarde dat ${\displaystyle \tan u\;{\text{en}}\;\tan v\;}$ bestaan.
• ${\displaystyle \cot u=\cot v\Leftrightarrow (u=v+k\pi )}$ voor een ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} \;}$ op voorwaarde dat ${\displaystyle \cot u\;{\text{en}}\;\cot v\;}$ bestaan.

Voorbeeld 1:

${\displaystyle \cos(2x)=\cos(\pi -3x)}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 2x=(\pi -3x)+2k\pi \quad {\text{of}}\quad 2x=-(\pi -3x)+2k\pi }$

${\displaystyle \Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow x=\pi /5+2k\pi /5\quad {\text{of}}\quad x=\pi -2k\pi }$

Met elke waarde van k correspondeert een oplossing van de vergelijking.

Voorbeeld 2:

${\displaystyle \sin(2x)=\cos(x-\pi /3)}$

${\displaystyle \Leftrightarrow \cos(\pi /2-2x)=\cos(x-\pi /3)}$

${\displaystyle \Leftrightarrow \pi /2-2x=x-\pi /3+2k\pi \quad {\text{of}}\quad \pi /2-2x=-x+\pi /3+2k\pi }$

${\displaystyle \Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow x=5\pi /18+2k\pi /3\quad {\text{of}}\quad x=\pi /6-2k\pi }$

Voorbeeld 3:

${\displaystyle \tan(2x)\cot(x+\pi /2)=1}$

${\displaystyle \Leftrightarrow \tan(2x)=\tan(x+\pi /2)}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 2x=x+\pi /2+k\pi }$

${\displaystyle \Leftrightarrow x=\pi /2+k\pi }$

op voorwaarde dat

${\displaystyle \tan(2x){\text{ en }}\cot(x+\pi /2){\text{ bestaan. }}}$

Maar ${\displaystyle \cot(x+\pi /2)}$ bestaat niet voor ${\displaystyle x=\pi /2+k\pi }$ !

Dus de opgegeven vergelijking heeft geen oplossingen!

Sommige vergelijkingen kunnen door middel van een substitutie herleid worden tot een algebraïsche vergelijking. Nadat de algebraïsche vergelijking is opgelost, kan men veel gemakkelijker de oplossingen van de goniometrische vergelijking vinden.

Voorbeeld:

${\displaystyle 2\sin ^{2}(2x)+\sin(2x)-1=0}$.

Stel ${\displaystyle t=\sin(2x)}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 2t^{2}+t-1=0\Leftrightarrow t=0{,}5{\text{ of }}t=-1}$

${\displaystyle \Leftrightarrow \sin(2x)=0{,}5{\text{ of }}\sin(2x)=-1}$

en dit kan gemakkelijk tot de basisvorm

${\displaystyle \sin u=\sin v}$ gebracht worden.

Soms kan een vergelijking eerst aangepast worden, zodat ze pas na een paar stappen tot een algebraïsche vergelijking te herleiden is.

Voorbeeld:

${\displaystyle \cos 10x+7=8\cos 5x\Leftrightarrow \cos 10x-8\cos 5x+7=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 1+\cos 10x-8\cos 5x+6=0\Leftrightarrow 2\cos ^{2}5x-8\cos 5x+6=0}$

Stel nu ${\displaystyle \cos 5x=t}$ .

Als men erin slaagt een op nul herleide vergelijking te ontbinden in factoren, valt de vergelijking uiteen in eenvoudiger vergelijkingen.

Voorbeeld:

${\displaystyle 3\sin(2x)-2\sin x=0\Leftrightarrow 6\sin x\cos x-2\sin x=0\Leftrightarrow 2\sin x(3\cos x-1)=0\Leftrightarrow \ldots }$.

We beschouwen vergelijkingen die homogeen zijn in sin(u) en cos(u).

Procedure:

• Breng alle termen naar het linker lid en ontbind dit lid, indien mogelijk, in factoren. De vergelijking valt dan uiteen in een of meer homogene vergelijkingen. Ze worden afzonderlijk opgelost.
• Deel de vergelijking door een gepaste macht van cos(u), zodat nog enkel tan(u) voorkomt. De bekomen vergelijking kan verder opgelost worden met behulp van een hulponbekende t.

Voorbeeld :

${\displaystyle 2\cos ^{3}x+2\sin ^{2}x\cos x=5\sin x\cos ^{2}x}$

${\displaystyle \Leftrightarrow \cos x(2\cos ^{2}x+2\sin ^{2}x-5\sin x\cos x)=0}$

De eerste factor geeft ${\displaystyle \cos x=0\Leftrightarrow x=\pi /2+k\pi }$

In het tweede deel delen we door ${\displaystyle \cos ^{2}x}$. We krijgen :

${\displaystyle 2\tan ^{2}x-5\tan x+2=0}$

Deze vergelijking kan verder opgelost worden met een hulponbekende ${\displaystyle t=\tan x}$

Gebruik de t-formules.

Voorbeeld : ${\displaystyle 3\sin(2x)+4\cos(2x)=2}$

Stel ${\displaystyle \tan(x)=t}$.

Er komt dan een algebraïsche vergelijking in t die verder kan opgelost worden.

Sommige vergelijkingen kunnen opgelost worden door verschillende besproken methodes op een gepaste manier te combineren. Bovendien moeten dikwijls omvormingen toegepast worden gebruik makend van gepaste goniometrische formules. Het is begrijpelijk dat ervaring en inzicht hierbij een grote rol spelen.

• Stelsel van lineaire vergelijkingen
• Methode van Jacobi
• Differentievergelijking
• Diofantische vergelijking