Ten artykuł należy dopracować: Stylizowany zapis liczby 0,(9) 0,(9) (lub 0,999… ) – alternatywny zapis liczby 1 w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego . Równość 0 , ( 9 ) = 1 {\displaystyle 0{,}(9)=1} można udowodnić na kilka sposobów.
Dowód wykorzystuje przedstawienie ułamka 1 9 {\displaystyle {\tfrac {1}{9}}} w postaci liczby dziesiętnej 0 , ( 1 ) . {\displaystyle 0{,}(1).} Z równości 1 9 = 0 , ( 1 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{9}}=0{,}(1)} natychmiast wynika
0 , ( 9 ) = 9 ⋅ 0 , ( 1 ) = 9 ⋅ 1 9 = 1. {\displaystyle 0{,}(9)=9\cdot 0{,}(1)=9\cdot {\frac {1}{9}}=1.} Podobnie ułamek 3 9 = 1 3 {\displaystyle {\tfrac {3}{9}}={\tfrac {1}{3}}} można przedstawić w postaci liczby dziesiętnej 0 , ( 3 ) . {\displaystyle 0{,}(3).} Stąd
0 , ( 9 ) = 3 ⋅ 0 , ( 3 ) = 3 ⋅ 1 3 = 1. {\displaystyle 0{,}(9)=3\cdot 0{,}(3)=3\cdot {\frac {1}{3}}=1.} W dowodzie można także wykorzystać dowolny rozkład liczby 0,(9) na sumę co najmniej dwóch ułamków dziesiętnych nieskończonych, o których wiadomo, jakich ułamków zwykłych są rozwinięciem. Przykładowo:
0 , ( 9 ) = 0 , ( 1 ) + 0 , ( 8 ) = 1 9 + 8 9 = 1. {\displaystyle 0{,}(9)=0{,}(1)+0{,}(8)={\frac {1}{9}}+{\frac {8}{9}}=1.} Podobnie dla poniższych rozkładów
0 , ( 9 ) = 0 , ( 2 ) + 0 , ( 7 ) = 0 , ( 3 ) + 0 , ( 6 ) = 0 , ( 4 ) + 0 , ( 5 ) = 0 , ( 1 ) + 0 , ( 2 ) + 0 , ( 2 ) + 0 , ( 4 ) {\displaystyle 0{,}(9)=0{,}(2)+0{,}(7)=0{,}(3)+0{,}(6)=0{,}(4)+0{,}(5)=0{,}(1)+0{,}(2)+0{,}(2)+0{,}(4)} itd. Dowód polega na pomnożeniu liczby 0,(9) przez 10, odjęciu od otrzymanego wyniku 0,(9), a następnie na podzieleniu całości przez 9:
x = 0,999 … 10 x = 9,999 … 10 x − x = 9,999 … − 0,999 … 9 x = 9 x = 1. {\displaystyle {\begin{aligned}x&=0{,}999\ldots \\10x&=9{,}999\ldots \\10x-x&=9{,}999\ldots -0{,}999\ldots \\9x&=9\\x&=1.\end{aligned}}} Liczbę 0,(9) można przedstawić jako sumę nieskończonego szeregu geometrycznego :
0 , ( 9 ) = 0 , 9 + 0 , 09 + 0,009 + 0,000 9 + … = ∑ n = 1 ∞ 9 10 n {\displaystyle 0{,}(9)=0{,}9+0{,}09+0{,}009+0{,}0009+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {9}{10^{n}}}} i korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, w którym a 1 = 9 10 , q = 1 10 , {\displaystyle a_{1}={\frac {9}{10}},\,\,q={\frac {1}{10}},} dostaniemy:
∑ n = 1 ∞ 9 10 n = a 1 1 − q = 9 10 1 − 1 10 = 9 10 9 10 = 1. {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {9}{10^{n}}}={\frac {a_{1}}{1-q}}={\frac {\frac {9}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {\frac {9}{10}}{\frac {9}{10}}}=1.} Uwaga 1. Pierwszy dowód opiera się na algorytmie wyznaczania rozwinięcia dziesiętnego liczby rzeczywistej .
Dla ułamków postaci c 9 , 1 ⩽ c < 9 {\displaystyle {\frac {c}{9}},\,\,1\leqslant c<9} zachodzi równość
10 ⋅ c 9 = c + c 9 , {\displaystyle 10\cdot {\frac {c}{9}}=c+{\frac {c}{9}},} z której wynika, że kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego powstające w trakcie stosowania algorytmu powtarzają się cyklicznie c 0 = 0 , c 1 = c 2 = c 3 = … , {\displaystyle c_{0}=0,\quad c_{1}=c_{2}=c_{3}=\ldots ,} tzn.
1 9 = 0 , ( 1 ) , 2 9 = 0 , ( 2 ) , 3 9 = 0 , ( 3 ) , … 8 9 = 0 , ( 8 ) . {\displaystyle {\frac {1}{9}}=0{,}(1),\quad {\frac {2}{9}}=0{,}(2),\quad {\frac {3}{9}}=0{,}(3),\quad \dots \quad {\frac {8}{9}}=0{,}(8).} Ten algorytm zawodzi jednak dla ułamka 9 9 , {\displaystyle {\tfrac {9}{9}},} stąd nieoczywista równość
9 9 = 0 , ( 9 ) , {\displaystyle {\frac {9}{9}}=0{,}(9),} którą należy wykazać.
Uwaga 2. Dowód 2. jest zastosowaniem ogólnej metody zamiany na ułamek zwykły każdej liczby dziesiętnej okresowej z dowolnie długim okresem.
Uwaga 3. Ściśle biorąc, dwa pierwsze dowody, chociaż bardzo intuicyjne, korzystają implicite z pewnych własności szeregów zbieżnych :
jeśli ∑ i a i {\displaystyle \sum _{i}a_{i}} jest zbieżny, to ∑ i k ⋅ a i {\displaystyle \sum _{i}k\cdot a_{i}} też jest zbieżny oraz ∑ i k ⋅ a i = k ⋅ ∑ i a i , {\displaystyle \sum _{i}k\cdot a_{i}=k\cdot \sum _{i}a_{i},} jeśli ∑ i a i , ∑ i b i {\displaystyle \sum _{i}a_{i},\sum _{i}b_{i}} są zbieżne, to ∑ i ( a i + b i ) {\displaystyle \sum _{i}(a_{i}+b_{i})} też jest zbieżny oraz ∑ i ( a i + b i ) = ∑ i a i + ∑ i b i . {\displaystyle \sum _{i}(a_{i}+b_{i})=\sum _{i}a_{i}+\sum _{i}b_{i}.}