Dwunastościan rombowy – Wikipedia, wolna encyklopedia
Dwunastościan rombowy | |
---|---|
![]() (Kliknij, aby zobaczyć animowany model) | |
Typ | Wielościan Catalana |
Ściana | romb |
Liczba ścian | 12 |
Liczba krawędzi | 24 |
Liczba wierzchołków | 14 = 6 + 8 |
Wielościan dualny | Sześcio-ośmiościan |
Dwunastościan rombowy – wielościan mający 12 ścian, 14 wierzchołków i 24 krawędzie. Wszystkie ściany są przystającymi rombami, w których stosunek długości przekątnych jest równy skąd wynika, że kąt ostry każdej ściany jest równy
W każdym wierzchołku wielościanu spotykają się 3 lub 4 ściany. W ośmiu wierzchołkach stykają się kątami rozwartymi 3 romby, zaś w pozostałych sześciu wierzchołkach stykają się kątami ostrymi 4 romby. Krótsze przekątne wszystkich ścian są krawędziami sześcianu. Dłuższe przekątne ścian są krawędziami ośmiościanu foremnego. Miarą kąta dwuściennego między sąsiednimi ścianami jest
Dwunastościan rombowy jest wielościanem Catalana dualnym do sześcio-ośmiościanu i dlatego grupa symetrii bryły działa przechodnio na zbiorze ścian. Przechodniość ta oznacza, że dla dwóch ścian i istnieje obrót lub symetria przekształcające bryłę na siebie, a ścianę na ścianę
Grupa symetrii dwunastościanu rombowego działa także przechodnio na zbiorze krawędzi tej bryły.
Sfery związane z dwunastościanem rombowym
[edytuj | edytuj kod]Jeśli długość krawędzi dwunastościanu rombowego jest równa to długości promieni niektórych sfer są następujące:
- promień sfery wpisanej stycznej do wszystkich 12 ścian:
- promień sfery stycznej do wszystkich 24 krawędzi:
- każdy punkt styczności leży w odległości krawędzi od wierzchołka, w którym zbiegają się 3 krawędzie,
- promień sfery opisanej:
- chodzi o najmniejszą sferę „zamykającą w sobie” dwunastościan rombowy, przechodzi ona przez 6 wierzchołków, w których zbiegają się 4 krawędzie tej bryły.
Pole i objętość
[edytuj | edytuj kod]Pole powierzchni i objętość dwunastościanu rombowego o krawędzi są równe:
Występowanie w przyrodzie
[edytuj | edytuj kod]Niektóre kryształy występujące w przyrodzie przybierają formę dwunastościanu rombowego[1]. Są to przede wszystkim kryształy granatu, ale tę formę przyjmuje wiele innych minerałów, na przykład magnetyt, sodalit, spinel i sfaleryt.
Pszczoły używają geometrii tej bryły do tworzenia plastrów miodu, których komórki są graniastosłupami prawidłowymi, sześciokątnymi zamkniętymi połówkami dwunastościanu rombowego.
Jak można sobie wyobrazić kształt dwunastościanu rombowego
[edytuj | edytuj kod]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a2/Rhombic_dodecahedra_filling_space.jpg/150px-Rhombic_dodecahedra_filling_space.jpg)
Krótkie przekątne rombów, i wierzchołki, w których romby stykają się kątami rozwartymi są krawędziami i wierzchołkami sześcianu o objętości równej połowie objętości samego dwunastościanu. Długie przekątne rombów, i wierzchołki, w których romby stykają się kątami ostrymi, są krawędziami i wierzchołkami ośmiościanu foremnego.
Ten dwunastościan można skonstruować, wychodząc z sześcianu, w następujący sposób: budujemy ostrosłup, którego podstawą jest ściana, a wierzchołkiem lustrzane odbicie środka sześcianu w płaszczyźnie ściany, powiększając sześcian o ten ostrosłup; powtarzając to dla wszystkich ścian uzyskamy dwunastościan rombowy, a użyte ostrosłupy będą składać się na kompletny sześcian – więc objętość dwunastościanu będzie 2 razy większa.
Powyższe wywody można zilustrować w układzie współrzędnych w przestrzeni:
- Punkty są wierzchołkami sześcianu o ścianach rozpiętych na sześciu czwórkach punktów:
- Do powyższych 8 punktów dołączamy 6 następnych: Są one obrazami początku układu współrzędnych w symetrii względem poszczególnych ścian, np. punkt jest obrazem w symetrii względem ściany a punkt – w symetrii względem ściany
- 14 wyżej wymienionych punktów jest wierzchołkami dwunastościanu rombowego[2].
Takie dwunastościany mogą wypełnić przestrzeń – żeby skonstruować taki układ wystarczy wyjść z układu sześcianów wypełniających przestrzeń, usunąć z nich co drugi, tak aby z każdych dwóch o wspólnej ścianie jeden został usunięty, i pozostałych użyć do konstrukcji dwunastościanów, odbijając ich środki względem sześciu ścian.
Wielościany pokrewne
[edytuj | edytuj kod]Dwunastościan rombowy jest elementem ciągu wielościanów rombowych i parkietaży, których grupa symetrii jest [n, 3] grupą Coxetera. Sześcian (geometria) może bowiem być uważany za sześciościan rombowy, gdzie romby są kwadratami.
Wielościan | Parkietaż euklidesowy | Parkietaż hiperboliczny | |||
---|---|---|---|---|---|
[3, 3] | [4, 3] | [5, 3] | [6, 3] | [7, 3] | [8, 3] |
![]() Sześcian | ![]() Dwunastościan rombowy | ![]() Trzydziestościan rombowy | ![]() | ![]() | ![]() |
Związki z bryłami czterowymiarowymi
[edytuj | edytuj kod]Czterowymiarowym odpowiednikiem dwunastościanu rombowego jest 24-komórka[3] (jest to komórka foremna[4]).
Jej wierzchołkami są:
- 16 wierzchołków czterowymiarowego odpowiednika sześcianu – 8-komórki: Jej 3-wymiarowymi ścianami są sześciany rozpięte na ośmiu ósemkach punktów:
- Ponadto wierzchołkami 24-komórki są obrazy środka układu współrzędnych w ośmiu ścianach:
Przekrój 24-komórki przestrzenią 3-wymiarową prostopadłą do największej przekątnej w jej środku jest dwunastościanem rombowym. Wynika to z powyższych opisów obu figur geometrycznych w układzie współrzędnych kartezjańskich.
Dwunastościan jest także otoczką wypukłą rzutu prostokątnego 8-komórki wzdłuż wielkiej przekątnej. Ilustruje to rysunek poniżej. Rzut zielonych punktów jest wtedy środkiem dwunastościanu.
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ W warszawskim Muzeum Ziemi jeden z wystawionych w ekspozycji kryształów ma formę dwunastościanu rombowego.
- ↑ Ilustracja ta jest analogiczna do konstrukcji 24-komórki podanej w cytowanej książce Marcela Bergera na s. 490–491.
- ↑ Marcel Berger: Géométrie (tłum. na jęz. ros.). Москва: Мир, 1984, s. 490–494.
- ↑ Hilbert D., Cohn-Vossen S.: Geometria poglądowa (tłum. z jęz. niem.). Warszawa: PWN, 1956, s. 135–149.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- The Geometrical Foundation of Natural Structure (Section 3-9)
- Magnus Wenninger: Dual Models. Cambridge University Press, 1983. DOI: 10.1017/CBO9780511569371. MR730208. ISBN 978-0-521-54325-5.
- The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 19, Rhombic dodecahedron
- The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 285, Rhombic dodecahedron)
- Marcel Berger: Géométrie (tłum. na jęz. ros.). Москва: Мир, 1984.
- Hilbert D., Cohn-Vossen S.: Geometria poglądowa (tłum. z jęz. niem.). Warszawa: PWN, 1956.
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Virtual Reality Polyhedra – Encyklopedia wielościanów.
Modele komputerowe
[edytuj | edytuj kod]- Rhombic Dodecahedron. polyhedra.org. [zarchiwizowane z tego adresu (2011-08-24)]. -- interaktywne modele 3-wymiarowe.
- Relating a Rhombic Triacontahedron and a Rhombic Dodecahedron (Sándor Kabai)
- Rhombic Dodecahedron 5-Compound (Sándor Kabai)
- Rhombic Dodecahedron 5-Compound (Sándor Kabai)
Projekty papierowe
[edytuj | edytuj kod]- Rhombic Dodecahedron Calendar – kalendarz w postaci dwunastościanu rombowego (bez użycia kleju)
- Another Rhombic Dodecahedron Calendar. southernct.edu. [zarchiwizowane z tego adresu (2012-07-01)].
Zastosowania praktyczne
[edytuj | edytuj kod]- Archimede Institute – projekty przedmiotów w kształcie dwunastościanu rombowego.