Element objętości – Wikipedia, wolna encyklopedia
Elementem objętości rozmaitości M w punkcie nazywamy taki k-tensor antysymetryczny że dla każdej bazy przestrzeni zachodzi: gdzie jest objętością równoległościanu rozpiętego na wektorach
Równoważna definicja
[edytuj | edytuj kod]Elementem objętości M w punkcie nazywamy o tej własności, że gdzie jest dodatnio zorientowaną bazą ortonormalną przestrzeni stycznej (Przykładem takiej bazy jest baza standardowa przestrzeni ).
Problem
[edytuj | edytuj kod]Definicje te są równoważne, ale w pierwszej nie widać od razu, czy jest to w ogóle tensor, natomiast trzeba wykazać, że druga definicja nie zależy od wyboru bazy ortonormalnej (jednoznaczność określenia). Definicje te wzajemnie uzupełniają swoje wady.
Zastosowanie
[edytuj | edytuj kod]Objętość rozmaitości M określa się jako o ile ta całka istnieje, co zachodzi z pewnością dla rozmaitości zwartej. „Objętość” zazwyczaj nazywa się długością lub polem powierzchni dla odpowiednio jedno- lub dwuwymiarowej rozmaitości, a dM standardowo oznacza się przez ds (element długości) lub przez dA (element pola powierzchni).
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Lech Górniewicz, Roman Stanisław Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków II, wyd. drugie, Toruń 2000.
- M. Spivak, Analiza na rozmaitościach, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1977.