Funkcja tworząca momenty – Wikipedia, wolna encyklopedia
Funkcja tworząca (generująca) momenty zmiennej losowej jest zdefiniowana wzorem
Używając teorii związanej z funkcją tworzącą momenty, wyprowadza się wiele oszacowań w rachunku prawdopodobieństwa. Klasyczną nierównością, w której występuje funkcja tworząca momenty, jest nierówność Chernoffa.
Funkcja nazywana jest funkcją generującą kumulanty. Kumulanty zmiennej losowej to wielkości spełniające własność:
Własności
[edytuj | edytuj kod]Funkcji tworzącej momenty można użyć, by obliczyć dowolny moment zmiennej losowej. Gdy rozwiniemy funkcję tworzącą momenty w szereg Taylora, otrzymamy:
Jeśli zróżniczkujemy całe wyrażenie -krotnie po i podstawimy otrzymamy -ty moment zmiennej losowej
Przykład: Załóżmy, że chcemy obliczyć wartość oczekiwaną (pierwszy moment) zmiennej losowej o rozkładzie Poissona z parametrem Funkcja generująca momenty dla rozkładu Poissona to
Gdy policzymy pierwszą pochodną po otrzymamy
Teraz, gdy podstawimy otrzymamy:
Inna własność jest następująca: jeśli
jest sumą niezależnych zmiennych losowych ( to stałe), to funkcją generującą momenty dla jest:
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]- funkcja charakterystyczna (transformata Fouriera)
- funkcja tworząca momenty (transformata Laplace’a)
- funkcja tworząca prawdopodobieństwa (transformata Laurenta lub Z-transformata)
- kumulanta
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Rafał Latała: Rachunek prawdopodobieństwa 3. maj 2007.