Hipoteza Chowli – Wikipedia, wolna encyklopedia
Hipoteza Chowli jest problemem otwartym z dziedziny teorii liczb. Hipoteza dotyczy zachowania funkcji Möbiusa na przedziałach kolejnych liczb całkowitych, dla będącego liczbą naturalną. Została sformułowana przez Sarvadamana Chowlę w 1966[1].
W uproszczeniu hipoteza mówi, że np. dwójka dla bezkwadratowych przyjmuje wartości i „mniej więcej” tak samo często, razy.
Treść hipotezy
[edytuj | edytuj kod]Poniższe sformułowanie hipotezy należy do Terrence’a Tao[2]. Treść można wyrazić na wiele równoważnych sposobów[1][3][4].
Niech będą nieujemnymi liczbami całkowitymi, z których przynajmniej jedna jest nieparzysta. Wówczas
przy
Hipotezę można równoważnie sformułować zastępując funkcję Möbiusa funkcją Liouville’a.
W najprostszym przypadku i hipoteza postuluje, że
i jest równoważna twierdzeniu o liczbach pierwszych.
Hipoteza Sarnaka
[edytuj | edytuj kod]Hipotezę słabszą od Chowli (implikowaną przez nią) sformułował Peter Sarnak[5]. Opisuje ona zachowanie funkcji z perspektywy teorii układów dynamicznych.
Niech będzie dowolnym topologicznym układem dynamicznym, gdzie jest przestrzenią metryczną, a jest homeomorfizmem o zerowej entropii topologicznej. Wówczas, dla dowolnej funkcji i dowolnego zachodzi
przy
Wiadomo, że hipoteza Chowli jest równoważna przeformułowanej, tzw. silnej hipotezie Sarnaka[3].
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ a b L. Carlitz , S. Chowla , The Riemann Hypothesis and Hilbert’s Tenth Problem., „The American Mathematical Monthly”, 73 (8), 1966, s. 906, DOI: 10.2307/2314216, ISSN 0002-9890, JSTOR: 2314216 [dostęp 2023-12-09] .
- ↑ T. Tao, The Chowla Conjecture, Dostęp 2023-12-09.
- ↑ a b El Houcein El Abdalaoui i inni, The Chowla and the Sarnak conjectures from ergodic theory point of view, „Discrete & Continuous Dynamical Systems - A”, 37 (6), 2017, s. 2899–2944, DOI: 10.3934/dcds.2017125, ISSN 1553-5231 [dostęp 2023-12-09] .
- ↑ TERENCE TAO , THE LOGARITHMICALLY AVERAGED CHOWLA AND ELLIOTT CONJECTURES FOR TWO-POINT CORRELATIONS, „Forum of Mathematics, Pi”, 4, 2016, DOI: 10.1017/fmp.2016.6, ISSN 2050-5086 [dostęp 2023-12-09] .
- ↑ P. Sarnak, Three lectures on the Möbius function, randomness and dynamics, http://publications.ias.edu/sarnak/.