Pierścień z jednoznacznością rozkładu – Wikipedia, wolna encyklopedia
Pierścień z jednoznacznością rozkładu, pierścień Gaussa, UFD (ang. unique factorization domain[1]) – pierścień przemienny, którego każdy element nieodwracalny może być przedstawiony jako iloczyn elementów pierwszych w jednoznaczny sposób, tzn. jednoznaczny co do permutacji czynników. Pierścienie te uogólniają pierścień liczb całkowitych w ten sposób, że spełniają one także tezę podstawowego twierdzenia arytmetyki.
Poniższy ciąg zawierań zbiorów obrazuje pewne szczególne przypadki pierścieni z jednoznacznością rozkładu:
- pierścienie z jednoznacznością rozkładu ⊃ dziedziny ideałów głównych ⊃ pierścienie euklidesowe ⊃ ciała
Definicja
[edytuj | edytuj kod]Dziedzina całkowitości nazywana jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu wtedy i tylko wtedy, gdy
- dla dowolnego niezerowego elementu nieodwracalnego istnieją elementy nierozkładalne takie, że
- jeżeli gdzie wszystkie elementy są nierozkładalne, to i istnieje permutacja taka, że to znaczy elementy te są stowarzyszone.
Własności
[edytuj | edytuj kod]- Jeżeli jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu, to istnieje w nim największy wspólny dzielnik.
- Twierdzenie Gaussa: Jeżeli jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu, pierścień wielomianów również jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu.
- W pierścieniu z jednoznacznością rozkładu każdy element nierozkładalny jest pierwszy.
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ jednoznaczność rozkładu, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-03-25] .
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987.