Równania Hamiltona – Wikipedia, wolna encyklopedia
Ten artykuł od 2018-03 wymaga zweryfikowania podanych informacji. |
Równania Hamiltona, kanoniczne równania ruchu – jedna z alternatywnych postaci zapisu równań ruchu, obok równań ruchu mechaniki Newtona oraz równań Eulera-Lagrange’a mechaniki w ujęciu Lagrange’a. Równania te wyrażają pochodne współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych układu fizycznego po czasie przy pomocy funkcji Hamiltona układu[1].
Definicja równań Hamiltona
[edytuj | edytuj kod]Równania Hamiltona – układ równań opisujących zmiany w czasie współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych układu fizycznego wyrażonych przy pomocy funkcji Hamiltona
gdzie:
- – -ty pęd uogólniony,
- – -ta współrzędna uogólniona,
- – liczba stopni swobody układu,
- – funkcja Hamiltona układu.
Równania Hamiltona stanowią układ równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu.
Równania Hamiltona wyrażone przez nawiasy Poissona
[edytuj | edytuj kod]Przy zapisie z użyciem nawiasów Poissona układ ten wygląda bardziej symetrycznie
Rozwiązania równań Hamiltona. Trajektoria układu
[edytuj | edytuj kod]Rozwiązanie równań Hamiltona przy zadanych warunkach początkowych (lub brzegowych) daje zależności czasowe położeń i pędów uogólnionych od czasu. Punkt kreśli w przestrzeni fazowej trajektorią układu.
Twierdzenie
[edytuj | edytuj kod]Jeżeli układ fizyczny znajduje się w polu oddziaływań o potencjale skalarnym, np. ciecz porusza się w polu grawitacyjnym, to pęd cząstek układu jest proporcjonalny do ich prędkości Ponadto jeżeli równania ruchu cząstek cieczy są równaniami Hamiltona, to ciecz ta jest nieściśliwa, tzn. jej super-prędkość ma znikającą dywergencję
gdzie:
Zakładając, na wzór elektrodynamiki, istnienie skalarnego potencjału „wektorowego” którego odpowiednik rotacji, jak permutacja gradientu z sygnaturą (jeden z wektorów prostopadłych do wektora całkowitego gradientu Hamiltonianu), zagwarantuje znikanie dywergencji podobnie jak w 3 wymiarach dla pól elektromagnetycznych, tzn. takiego, że
otrzymujemy z twierdzenia Schwartza o przemienności pochodnych cząstkowych
Jak widać, także
jeśli zapiszemy równania Hamiltona symbolicznie w sposób skrócony:
co wyraża prostopadłość wektora prawej strony równań do gradientu Hamiltonianu
Przykład – oscylator harmoniczny
[edytuj | edytuj kod]Hamiltonian jednowymiarowego oscylatora harmonicznego o jednostkowej masie i częstości dany jest przez:
Przestrzeń fazowa jest więc dwuwymiarowa, tzn. jest płaszczyzną.
Z równań Hamiltona otrzymamy:
Różniczkując drugie równanie po czasie i wstawiając do niego pierwsze, otrzymujemy równanie Newtona:
Rozwiązaniem specjalnym tego równania jest funkcja
przy czym lub równoważnie
Rozwiązanie musi być funkcją rzeczywistą – stąd w ogólnym przypadku ma postać:
Na podstawie pierwszego równania widać, że całkując powyższe równanie, otrzymamy pęd:
Z powyższych rozwiązań otrzymamy
Wynik ten przedstawia równanie parametryczne okręgu. Oznacza to, że punktu porusza się w przestrzeni fazowej po okręgu z częstością równą częstości oscylatora.
Jeśli rozważymy zbiór wielu punktów o różnych warunkach początkowych odpowiadający cieczy składającej się z cząstek wypełniających przestrzeń fazową z pewną gęstością początkowa i skoncentrujemy na jednym z nich, to ponieważ wszystkie punkty poruszają z taką sama częstością kołowa, to gęstość cieczy pozostanie stała mino jej ruchu. Oznacza to, że ciecz jest nieściśliwą.
W przypadku oscylatora harmonicznego własność ta oznacza, że tzw. funkcja Wignera (która wyraża gęstość pędu i położenia stanu kwantowego) jedynie się obraca, zachowując w czasie ten sam kształt.
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Hamiltona równania ruchu, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-22] .