Sieć (geometria) – Wikipedia, wolna encyklopedia
Siecią nazywa się układ czterech zbiorów: w których:
- elementy zbioru nazywa się punktami,
- elementy zbiorów nazywa się krzywymi (a same zbiory rodzinami krzywych),
- między punktami i krzywymi określona jest relacja incydencji wyrażana zwrotami: punkt leży na krzywej, krzywa przechodzi przez punkt,
- przez każdy punkt zbioru przechodzi dokładnie jedna krzywa każdej rodziny krzywych,
- dwie proste należące do różnych rodzin krzywych przecinają się w dokładnie jednym punkcie zbioru [1][2].
Sieci na płaszczyźnie
[edytuj | edytuj kod]Jeśli punkty są punktami płaszczyzny, a krzywe są krzywymi na płaszczyźnie, to rodziny krzywych i mogą być przekształcone przy pomocy homeomorfizmu płaszczyzny na rodziny sieci prostych równoległych do osi układu współrzędnych, czyli z dokładnością do deformacji homeomorficznej tworzą sieć współrzędnych na płaszczyźnie. Wtedy krzywe trzeciej rodziny są poziomicami pewnej funkcji [3].
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/Multiplication_in_quasi-group.svg/300px-Multiplication_in_quasi-group.svg.png)
- Najprostszą siecią jest sieć regularna, w której zbiór jest zbiorem punktów płaszczyzny, a rodziny prostych są zbiorami prostych równoległych do każdej z osi współrzędnych na płaszczyźnie oraz pewnej prostej pochyłej do obu osi[3].
- Sieci związane są z quasi-grupami – jednym z rodzajów algebr uniwersalnych. Każdej quasi-grupie odpowiada pewna sieć i na odwrót, każdej sieci odpowiada pewna quasi-grupa, nazywana quasi-grupą współrzędnych sieci. Mnożenie punktów i w quasi-grupie składającej się z punktów prostej różowej (na rysunku) jest zdefiniowane następująco (patrz rysunek):
- przez punkty i prowadzi się proste równoległe odpowiednio do prostych i które przecinają się w punkcie
- przez punkt prowadzi się prostą równoległą do prostej która przecina prostą różową w punkcie Punkt jest iloczynem punktów i
- Każdej quasi-grupie można przyporządkować pewną sieć Niech będzie quasi-grupą. Wtedy:
- punktami sieci są pary uporządkowane elementów zbioru
- rodzinami prostych są zbiory symboli dla i = 1, 2, 3,
- punkt należy do symboli zatem przez każdy punkt przechodzi dokładnie jedna prosta każdej rodziny,
- proste przecinają się w punkcie proste przecinają się w punkcie proste przecinają się w punkcie [4].
- Wtedy quasi-grupa jest quasi-grupą współrzędnych sieci