Spirala Fermata – Wikipedia, wolna encyklopedia
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d8/Fermat%27s_spiral.svg/300px-Fermat%27s_spiral.svg.png)
Spirala Fermata, spirala paraboliczna – krzywa na płaszczyźnie, będąca uogólnieniem spirali Archimedesa. Ma tę właściwość, że pole powierzchni zawarte pomiędzy dwoma kolejnymi pełnymi zwojami spirali jest stałe. W rezultacie odległość między zwojami maleje, w przeciwieństwie do spirali Archimedesa (dla której ta odległość jest stała) i spirali logarytmicznej (dla której odległość między zwojami spirali jest proporcjonalna do ich odległości od środka).
Spirala Fermata jest tak nazwana na cześć Pierre’a de Fermata.
Spirala Fermata znalazła zastosowanie w modelowaniu wzrostu roślin i kształtów niektórych galaktyk spiralnych, a także w projektowaniu kondensatorów o zmiennych pojemnościach, luster słonecznych i cyklotronów.
Współrzędne biegunowe
[edytuj | edytuj kod]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/71/Spiral-fermat-1.svg/220px-Spiral-fermat-1.svg.png)
(I) We współrzędnych biegunowych spirala Fermata obracająca się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dana jest równaniami:
gdzie – stały parametr spirali: im większa jego wartość, tym większa odległość między zwojami spirali, przy czym: (1) gdy to pierwsze równania opisuje gałąź spirali jak na rysunku obok, zaś drugie równanie opisuje drugą gałąź (por. rysunek górny); (2) gdy to ramiona są zamienione miejscami.
(II) Podobnie, we współrzędnych biegunowych spirala Fermata obracająca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara dana jest równaniami:
gdzie – stały parametr spirali.
Współrzędne kartezjańskie
[edytuj | edytuj kod]Przechodząc od równania we współrzędnych biegunowych do równania we współrzędnych kartezjańskich za pomocą przekształceń:
równanie parametryczne jednej gałęzi spirali Fermata obracającej się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara przyjmuje postać:
a równanie drugiej gałęzi przyjmie postać:
przy czym – kąt, – stały parametr spirali.
Dla spirali obracającej się zgodnie z ruchem wskazówek zegara równania są analogiczne.
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]- lista krzywych
- loksodroma
- spirala Archimedesa
- spirala hiperboliczna
- spirala logarytmiczna
- spirala złota
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Eric W. Weisstein , Fermat’s Spiral, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
- Online exploration using JSXGraph (JavaScript)