Splot Hopfa – Wikipedia, wolna encyklopedia
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dc/Hopf-Verschlingung_20230214_001.stl/220px-Hopf-Verschlingung_20230214_001.stl.png)
Splot Hopfa – najprostszy nietrywialny splot[1]. Składa się z dwóch okręgów jednokrotnie połączonych[2]. Nazwany imieniem matematyka Heinza Hopfa[3]. W notacji Alexandera-Briggsa jest oznaczany symbolem [4]. Jego symbolem w komputerowych bazach danych jest [5].
Realizacja geometryczna
[edytuj | edytuj kod]Konkretny model składa się z dwóch okręgów jednostkowych na prostopadłych płaszczyznach, każdy przechodzący przez środek drugiego[2]. Taki model minimalizuje długość sznurową tego splotu[6]. Do 2002 splot Hopfa był jedynym, dla którego taka długość była znana[6]. Otoczka wypukła tych dwóch okręgów tworzy kształt zwany oloidem[7] .
Własności
[edytuj | edytuj kod]- Indeks skrzyżowaniowy splotu wynosi [a].
- Liczba gordyjska splotu to [8].
- Nawias Kauffmana splotu Hopfa to[9][10]
- Bez narzuconej orientacji splot Hopfa nie wykazuje chiralności[11].
- Przy założeniu orientacji składników istnieją dwa różne warianty splotu Hopfa oznaczane słowem „prawy/lewy”[12], znakiem „+/−”[13][14] bądź przyrostkiem lub w symbolu bazodanowym[9].
- Ze względu na różne orientacje następujące niezmienniki mają podwójne wyniki
- Indels zaczepienia wynosi lub [15][16].
- Spin (liczba Taita) to lub [10].
- Wielomiany HOMFLYPT mają postać[17]
- Wielomiany Jonesa to[10]
- Pozostałe własności
- Splot Hopfa to węzeł torusowy (2,2)[18] grupy Bn ze słowem elementarnym [19].
- Jest to również splot Brunna[20].
- Dopełnieniem splotu Hopfa jest czyli walec nad torusem[21], iloczyn kartezjański torusa i odcinka[22]. Stanowi on grupę przemienną [23].
Historia
[edytuj | edytuj kod]Strukturę w kształcie splotu Hopfa analizował Gauss w swojej pracy o elektrodynamice[24]. Z wzajemnych zależności między polem magnetycznym i elektrycznym wyprowadził niezależny od praw fizyki wzór na relację między dwiema zamkniętymi krzywymi, którą obecnie w topologii określa się mianem indeksu zaczepienia . W swojej notatce z 22 stycznia 1833 opisał ten bezwymiarowy współczynnik jako liczbę zwojów[25]. Stąd w przypadku prawa Ampère’a nazywany jest on liczbą Gaussa[26].
William Thomson opublikował w 1867 r. pracę, w której wysunął koncepcję budowy atomu opartą na węzłach i splotach[27]. Wśród wymienianych przykładów wirowych rurek był obecny splot Hopfa[28], który miał reprezentować atom sodu[29].
W 1931 r. Heinz Hopf opublikował pracę o rozwłóknieniu sfery (hipersfery z 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej)[30], czyli utworzeniu jej mapy z wykorzystaniem klasycznej sfery w przestrzeni trójwymiarowej[31]. Dla każdego punktu sfery przyporządkowane jest włókno w postaci okręgu[32]. Cechą tego przekształcenia jest to, że dla dowolnych dwóch punktów odpowiadająca im para okręgów tworzy charakterystyczny splot[33].
Biologia i chemia
[edytuj | edytuj kod]- Struktury w postaci splotów Hopfa są obserwowane w budowie niektórych białek[34] .
- W wyniku działania rezolwazy Tn3 powstaje najprostszy 2-katekan, którego budowa odzwierciedla splot Hopfa[35].
Symbolika
[edytuj | edytuj kod]- Symbolem trwałego małżeństwa są dwie splecione obrączki ułożone obok siebie[36].
- Dwa splecione pierścienie jeden nad drugim to symbol połączenia fizyczności i duchowości[36].
- W herbach niemieckich gmin Boos[37], Brieden[38], Gransdorf[39], Großlittgen[40], Idenheim[41], Maring-Noviand[42] i Pommern[43] znajdują się dwa splecione pierścienie, co ma podkreślać ich historyczne powiązania z opactwem Himmerod .
- Dwa splecione pierścienie widnieją także w herbie miasta Hettingen, które pochodzą z herbu pierwotnie oddzielnej gminy Inneringen, włączonej do miasta w 1975 r.[44]
- W Australii w miejscu 33°51′45,3″S 151°12′37,2″E/-33,862596 151,210334 znajduje się pomnik o potocznej nazwie Więzy Przyjaźni, który ma kształt dwóch splecionych ogniw[45].
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Uwagi
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Główna liczba z notacji Alexandera-Briggsa
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Allard i Gauthier 2022 ↓, s. 11.
- ↑ a b Kusner i Sullivan 1998 ↓, s. 77.
- ↑ Prasolov i Sosinskij 1997 ↓, s. 6.
- ↑ Jabłonowski 2023 ↓, s. 29.
- ↑ Choi, Chung i Kim 2014 ↓, s. 7.
- ↑ a b Cantarella, Kusner i Sullivan 2002 ↓, s. 2.
- ↑ Dirnböck i Stachel 1997 ↓.
- ↑ Bonchev i Rouvray 2000 ↓, s. 11.
- ↑ a b Henrich i Kauffman 2017 ↓, s. 184.
- ↑ a b c Simula 2019 ↓, s. 4–11.
- ↑ Sauvage i Dietrich-Buchecker 1999 ↓, s. 12.
- ↑ Kholodenko 2013 ↓, s. 29.
- ↑ Sulkowska i Sułkowski 2018 ↓, s. 216.
- ↑ Amoroso 2018 ↓, s. 190.
- ↑ Adams 2004 ↓, s. 19.
- ↑ Hao i Zheng 1998 ↓, s. 410.
- ↑ Sauvage i Dietrich-Buchecker 1999 ↓, s. 11.
- ↑ Kauffman 1987 ↓, s. 373.
- ↑ Adams 2004 ↓, Exercise 5.22, s. 133.
- ↑ Jabłonowski 2023 ↓, s. 44.
- ↑ Turaev 1994 ↓, s. 194.
- ↑ Gukov i in. 2016 ↓, s. 91.
- ↑ Allard i Gauthier 2022 ↓, s. 86.
- ↑ Ashtekar i Corichi 1997 ↓, s. 2–4.
- ↑ Nash 1999 ↓, s. 360–363.
- ↑ Broda 2004 ↓, s. 120.
- ↑ Broda 2004 ↓, s. 121.
- ↑ Nash 1999 ↓, s. 364.
- ↑ Allard i Gauthier 2022 ↓, s. 16.
- ↑ Lyons 2003 ↓, s. 1.
- ↑ Lyons 2003 ↓, s. 2.
- ↑ Lyons 2003 ↓, s. 7–10.
- ↑ Lyons 2003 ↓, s. 13–14.
- ↑ Dabrowski-Tumanski i Sulkowska 2017 ↓.
- ↑ Dobrowolski 2003 ↓, s. 8.
- ↑ a b Olderr 2017 ↓, s. 169.
- ↑ Booser Wappen [online], boos-eifel.de, 8 lipca 2006 [dostęp 2023-08-26] (niem.).
- ↑ Die Ortsgemeinde Brieden in der Eifel stellt sich vor... [online], brieden-eifel.de [dostęp 2023-08-26] (niem.).
- ↑ Gransdorf – Wappen [online], gransdord.de [dostęp 2023-08-26] (niem.).
- ↑ Geschichte [online], grosslittgen.de [dostęp 2023-08-26] (niem.).
- ↑ Wappen, [w:] Idenheim [online], bitburgerland.de [zarchiwizowane 2014-09-14] (niem.).
- ↑ Ferien und Weinort Maring-Noviand mit Siebenborn [online], Eifel-Mosel Zeitung, 18 kwietnia 2012 [dostęp 2023-08-26] (niem.).
- ↑ Ortwappen [online], pommern-mosel.de [dostęp 2023-08-26] (niem.).
- ↑ Geschichte Wappen [online], hettingen.de [dostęp 2023-08-26] (niem.).
- ↑ First Fleet Memorial – „Bonds of Friendship” [online], Monument Australia [dostęp 2023-08-26] .
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Colin Conrad Adams , The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, American Mathematical Society, 2004, ISBN 978-0-8218-3678-1 .
- Casimir Allard , Adélaïde Gauthier , Kombinatoryczna teoriawezłów, Juliette Buis (tłum.), wyd. 3, Antykwariat Czarnoksięski, 2022 .
- Richard L. Amoroso , Fundaments of ontological-phase topological fields theory, [w:] Unified Field Mechanics II, World Scientific, 2018, ISBN 978-981-3232-03-7 .
- Abhay Ashtekar , Alejandro Corichi , Gauss Linking Number and Electro-magnetic Uncertainty Principle, „Phys. Rev. D”, 56, 1997, s. 2073–2079, DOI: 10.1103/PhysRevD.56.2073, arXiv:hep-th/9701136 .
- Bai-Lin Hao , Wei-Mou Zheng , Applied symbolic dynamics and chaos, World Scientific Publishing, 1998, ISBN 981-02-3512-7 .
- Danail Bonchev , Dennis H. Rouvray , Chemical Topology. Applications and Techniques, Gordon and Breach Science, 2000 (Mathematical Chemistry), ISBN 90-5699-240-6, ISSN 1049-2801 .
- Bogusław Broda , Fizyka i topologia, „Postępy Fizyki”, 55 (3), 2004, s. 120–122, ISSN 0032-5430 .
- Jason Cantarella , Robert B. Kusner , John M. Sullivan , On the minimum ropelength of knots and links, „Inventiones Mathematicae”, 150 (2), 2002, s. 257–286, DOI: 10.1007/s00222-002-0234-y, Bibcode: 2002InMat.150..257C, arXiv:math/0103224, MR 1933586 .
- Yoon-Ho Choi , Yun Ki Chung , Dongseok Kim , The complete list of prime knots whose flat plumbing basket number are 6 or less, „Arxiv”, 2014, arXiv:1408.3729v1 .
- Pawel Dabrowski-Tumanski , Joanna I. Sulkowska , Topological knots and links in proteins, „Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America”, 114 (13), 2017, s. 3415–3420, DOI: 10.1073/pnas.1615862114, PMID: 28280100, PMCID: PMC5380043 .
- Hans Dirnböck , Hellmuth Stachel , The development of the oloid, „Journal for Geometry and Graphics”, 1 (2), 1997, s. 105–118, MR 1622664 .
- Jan Dobrowolski , Węzły i sploty DNA, „Polimery”, XLVIII (1), styczeń 2003, s. 3–15 .
- Sergei Gukov i inni, Sequencing BPS spectra, „JHEP”, 2016, DOI: 10.1007/JHEP03(2016)004 .
- Tangle insertion invariants for pseudoknots, singular knots, and rigid vertex spatial graphs, [w:] Allison Henrich , Louis H. Kauffman , Knots, links, spatial graphs and algebraic invariants, AMS, 2017 (Contemporary Mathematics; 689), DOI: 10.1090/conm/689, ISBN 978-1-4704-2847-1 .
- Michał Jabłonowski , Węzły i sploty w wymiarze 3 i 4 [online], 22 lipca 2023 [dostęp 2023-08-26] .
- Louis H. Kauffman , On Knots, Princeton University Press, 1987 (Annals of Mathematics Studies; 115), ISBN 0-691-08435-1 .
- Arkady Leonidovich Kholodenko , Applications of contact geometry and topology in physics, World Scientific, 2013, ISBN 978-981-4412-08-7 .
- Robert B. Kusner , John M. Sullivan , On distortion and thickness of knots, [w:] Topology and geometry in polymer science, t. 103, New York: Springer, 1998 (IMA Vol. Math. Appl.), s. 67–78, DOI: 10.1007/978-1-4612-1712-1_7, MR 1655037 .
- David W. Lyons , An Elementary Introduction to the Hopf Fibration, „Mathematics Magazine”, 76 (2), 2003, s. 87–98, DOI: 10.1080/0025570X.2003.11953158, arXiv:2212.01642, JSTOR: 3219300 .
- Charles Nash , Topology and Physics – a Historical Essay, [w:] I.M. James (red.), History of topology, Elsevier, 1999, ISBN 0-444-82375-1 .
- Steven Olderr , Symbolism. A comprehensive dictionary, wyd. 2, 2017, ISBN 978-0-7864-6955-0 .
- Viktor Vasil′evič Prasolov , Aleksej Bronislavovič Sosinskij , Knots, links, braids and 3-manifolds: An introduction to the new invariants in low-dimensional topology, t. 154, Providence, RI: American Mathematical Society, 1997 (Translations of Mathematical Monographs), ISBN 0-8218-0588-6, MR 1414898 .
- Vladimir G. Turaev , Quantum Invariants of Knots and 3-manifolds, Walter de Gruyter, 1994 (De Gruyter studies in mathematics; 18), s. 194, ISBN 3-11-013704-6 .
- Jean-Pierre Sauvage , Christiane Dietrich-Buchecker , Molecular catacanes, rotaxanes and knots, Wiley, 1999, ISBN 3-527-29572-0 .
- Tapio Simula , Quantised Vortices, Morgan & Claypool, 2019, DOI: 10.1088/2053-2571/aafb9d, ISBN 978-1-64327-126-2, ISBN 978-1-64327-123-1, ISBN 978-1-64327-124-8 .
- Joanna I. Sulkowska , Piotr Sułkowski , Entangled Proteins: Knots, Slipknots, Links and Lassos, [w:] Sanju Gupta, Avadh Saxena (red.), The role of topology in materials, Springer, 2018 (Solid-State Sciences), DOI: 10.1007/978-3-319-76596-9, ISBN 978-3-319-76595-2, ISSN 0171-1873 .
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Eric W. Weisstein , Hopf link, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
- Topology of a Twisted Torus, [w:] Numberphile [online], YouTube, 27 stycznia 2014 (ang.).