Twierdzenie Bourbakiego-Witta o punkcie stałym – Wikipedia, wolna encyklopedia

Twierdzenie Bourbakiego-Witta o punkcie stałym – twierdzenie teorii porządków mówiące, że jeżeli ${\displaystyle (X,\leqslant )}$ jest zbiorem częściowo uporządkowanym w którym każdy łańcuch ma kres górny, to każda funkcja ${\displaystyle f\colon X\to X}$ spełniająca warunek

${\displaystyle x\leqslant f(x)}$ dla każdego ${\displaystyle x\in X}$

ma punkt stały, to znaczy istnieje taki element ${\displaystyle x_{*}}$ w zbiorze ${\displaystyle X,}$ że

${\displaystyle f(x_{*})=x_{*}.}$

Korzystając z twierdzenia Bourbakiego-Witta (i aksjomatu wyboru), można udowodnić twierdzenie Hausdorffa o łańcuchu maksymalnym i lemat Kuratowskiego-Zorna. Twierdzenie to udowodnili niezależnie Nicolas Bourbaki^[1] i Ernst Witt^[2].

• Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 2007, s. 29–30. ISBN 978-83-01-15232-1.