Twierdzenie Vitalego o pokryciu – Wikipedia, wolna encyklopedia
Twierdzenie Vitalego o pokryciu – noszące nazwisko Giuseppe Vitalego jedno z dwóch podstawowych twierdzeń o pokryciu (obok twierdzenia Besicovitcha) pomocne przy badaniu własności miary Lebesgue’a na przestrzeniach euklidesowych; z geometrycznego punktu widzenia daje pokrycie kulami powiększonymi w stosunku do wyjściowych, dzięki czemu jest z nich łatwiejsze w zrozumieniu i zastosowaniu.
Twierdzenie umożliwia mierzenie i teoretyczne „wypełnienie” dowolnego zbioru otwartego przeliczalnie wieloma rozłącznymi kulami domkniętymi o ograniczonym promieniu (z wykorzystaniem miary Lebesgue’a, twierdzenie Besicovitcha umożliwia podobną operację dla ogólniejszych miar Radona); jest także pomocne jako środek dowodowy dla nierówności dla operatora Hardy’ego-Littlewooda.
- Sformułowanie „(pod)rodzina kul rozłącznych” oznacza, że rozłączne są dowolne dwie kule w danej (pod)rodzinie; innymi słowy rozpatrywane kule są zbiorami parami rozłącznymi.
Twierdzenie
[edytuj | edytuj kod]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Vitali_covering_lemma.svg/220px-Vitali_covering_lemma.svg.png)
Na dole: podrodzina kul o trzykrotnie większych promieniach pokrywa wszystkie kule.
- Zobacz też:
Niech oznacza kulę domkniętą w zaś oznacza współśrodkową kulę domkniętą o promieniu pięciokrotnie większym od promienia Rodzinę kul domkniętych w nazywa się pokryciem zbioru jeżeli
- Teza
Niech oznacza dowolną rodzinę niezdegenerowanych kul domkniętych w przy czym
Wówczas istnieje rodzina przeliczalna rozłącznych kul w dla której
Dowód
[edytuj | edytuj kod]- Oznaczenia
- Niech Ponadto
- Zbiór będzie określony indukcyjnie jak następuje:
- niech będzie maksymalną rodziną rozłączną kul w
- zakładając, że są już wskazane, rodzina będzie dana jako dowolna maksymalna podrodzina rozłączna
- Wreszcie
- przy czym jest ona rodziną kul rozłącznych oraz
Przy podanych definicjach wystarczy wykazać następujące
- Stwierdzenie
- Dla każdej kuli istnieje kula dla której oraz
- Dowód
- Niech będzie ustalony. Istnieje wtedy wskaźnik dla którego Z maksymalności istnieje kula dla której Jednakże oraz stąd zaś Zatem
- Uwagi
- Stała w definicji nie jest optymalna. Jeśli przy definiowaniu zamiast użyto by dla to wartość można by zastąpić przez Każda stała ściśle większa od daje poprawne sformułowanie twierdzenia.
- W najogólniejszym przypadku przestrzeni metrycznych wybór maksymalnej podrodziny rozłącznej wymaga lematu Kuratowskiego-Zorna.
- Nie istnieje systematyczny sposób kontrolowania za pomocą w przypadku, gdy jest ogólną miarą Radona na Przez to twierdzenie Vitalego o pokryciu nie jest aż tak pomocne przy badaniu tego rodzaju miar; twierdzenie Besicovitcha jest twierdzeniem o pokryciu, które nie wymaga powiększania kul za cenę ich rozłączności (przy zachowaniu kontroli nad stopniem ich nakładania).
- Założenie o ograniczeniu średnicy (promienia) kuli jest niezbędne: w przypadku rodziny wszystkich kul o środku w początku dowolna rozłączna podrodzina składa się wyłącznie z jednej kuli jednakże nie zawiera wszystkich kul tej rodziny.
Literatura
[edytuj | edytuj kod]- Giuseppe Vitali. Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali. „Atti dell’Accademia delle Scienze di Torino”. 43, s. 75–92, 1908. (wł.). („O grupach punktów i o funkcjach zmiennych rzeczywistych”, zawiera pierwszy dowód twierdzenia Vitalego o pokryciu).