Twierdzenie ergodyczne Birkhoffa – Wikipedia, wolna encyklopedia

Twierdzenie ergodyczne Birkhoffa – jedno z najważniejszych twierdzeń teorii ergodycznej. Opisuje zachowanie średnich wartości funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a przy stosowaniu na danej zmiennej przekształcenia ergodycznego. Nosi nazwisko George’a D. Birkhoffa[1][2].

Treść twierdzenia

[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech będzie przekształceniem zachowującym miarę ( dla wszystkich ) i ergodycznym ( wtedy i tylko wtedy, gdy lub ). Wówczas, dla dowolnej funkcji

dla -prawie wszystkich (tzn. że zbiór które nie spełniają powyższego warunku, ma miarę równą 0).

Motywacja

[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie ergodyczne Birkhoffa ma zastosowanie przy wielu problemach. Przedstawmy kilka przykładów[1]. Zakładamy, że jest przestrzenią probabilistyczną, a zachowuje miarę.

  • Niech będzie pewnym zbiorem, który chcemy analizować. Dla ile spośród elementów zbioru będzie należeć do ?
  • Rozważmy będące okręgiem jednostkowym i przekształcenie dla liczby niewymiernej Jak wówczas zachowują się wartości przy ?
  • Twierdzenie Borela o liczbach normalnych. Prawie wszystkie liczby z przedziału normalne w systemie binarnym, tzn. częstość występowania cyfry 1 w ich rozwinięciach wynosi

Przekształcenia jednoznacznie ergodyczne

[edytuj | edytuj kod]

Przekształcenie nazwiemy jednoznacznie ergodycznym (ang. uniquely ergodic), jeśli istnieje dokładnie jedna miara którą zachowuje. Udowodnienie, że jest przekształceniem jednoznacznie ergodycznym pozwala z twierdzenia Birkhoffa wyeliminować warunek -prawie wszystkich elementów i zastąpić go wszystkimi

Twierdzenie[1]. Niech będzie przestrzenią probabilistyczną i niech Przekształcenie jest jednoznacznie ergodyczne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje dokładnie jedna miara dla której jest przekształceniem zachowującym miarę i taka, że dla dowolnej funkcji zachodzi

dla wszystkich

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. a b c Peter Walters, An Introduction to Ergodic Theory, „Graduate Texts in Mathematics”, 1982, DOI10.1007/978-1-4612-5775-2, ISSN 0072-5285.
  2. Manfred Einsiedler, Thomas Ward, Ergodic Theory, 2011, DOI10.1007/978-0-85729-021-2.