Wzór Picka – Wikipedia, wolna encyklopedia
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/84/Pick_theorem.svg/250px-Pick_theorem.svg.png)
ze wzoru Picka pole wielokąta jest równe:
Wzór Picka – wzór na obliczanie pola powierzchni wielokąta prostego, którego wierzchołki są punktami kratowymi na płaszczyźnie. Zgodnie z tym wzorem pole wielokąta jest równe:
gdzie oznacza liczbę punktów kratowych leżących wewnątrz wielokąta, a oznacza liczbę punktów kratowych leżących na brzegu wielokąta.
Powyższy wzór jest prawdziwy jedynie dla wielokątów prostych (złożonych z jednego kawałka i bez dziur).
Twierdzenie to zostało po raz pierwszy opisane przez Georga Alexandra Picka w 1899. Można je uogólnić na przestrzeń trzy i więcej wymiarową przez wielomiany Ehrharta. Wzór można też uogólnić na powierzchnie wielościanów.
Uogólnienie dla wielokątów złożonych z trójkątów pierwotnych
[edytuj | edytuj kod]Trójkątem pierwotnym jest trójkąt, którego wierzchołki są punktami kratowymi i są to jedyne punkty kratowe. Ze wzoru Picka wynika, że ma on pole
Rozważmy wielokąt który ma triangulację na trójkąty pierwotne. Oznaczmy przez liczbę wierzchołków w triangulacji, liczbę krawędzi triangulacji, liczbę krawędzi brzegowych triangulacji, a liczbę ścian triangulacji.
Zliczając krawędzie ścian triangulacji na dwa sposoby, otrzymujemy równość
gdzie oznacza charakterystykę Eulera, a brzeg figury
Wzór ten jest prawidłowy w szczególności dla wielokątów prostych, ponieważ dla nich charakterystyka Eulera jest równa a charakterystyka brzegu
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Tom Davis: Pick’s Theorem. [dostęp 2016-12-11].
Proving Pick's Theorem, kanał PBS Infinite Series na YouTube, 16 marca 2017 [dostęp 2024-08-29].