Conjunto de medida zero – Wikipédia, a enciclopédia livre
Este artigo não cita fontes confiáveis. (Março de 2019) |
Em matemática, o conceito de conjunto de medida zero ou nula é uma formalização da ideia de insignificante.
Na teoria das probabilidades, medida zero indica probabilidade zero.
Mais precisamente falando, se é um espaço de medida, um conjunto é dito ter medida zero se:
Um conjunto, por outro lado, é dito ter medida plena em X se o seu complementar em X tiver medida zero.
Em análise real, a medida de Lebesgue possui especial importância e, muitas vezes, usa-se o termo medida zero para indicar medida de Lebesgue zero. Mesmo em contextos de introdução à análise, o conceito de conjunto de medida zero é introduzido sem referências à teoria da medida.
Exemplo: conjunto de medida (de Lebesgue) zero na reta
[editar | editar código-fonte]Seja um conjunto qualquer na reta. Dizemos que é uma cobertura de bolas abertas para se satisfizer as hipóteses:
- são bolas abertas com centro em e raio
O comprimento da cobertura é definido como: Note-se que não é necessário que as bolas sejam disjuntas.
Um conjunto é dito ter medida zero se para todo , existir uma cobertura de bolas abertas de comprimento menor ou igual a .
Exemplo
[editar | editar código-fonte]O conjunto dos números inteiros, tem medida zero.
Sabe-se que é enumerável, portanto pode ser escrito como:
Fixe um arbitrário e considere as bolas: E o comprimento da cobertura é:
Observe que, de forma geral, todo conjunto enumerável possui medida de Lebesgue zero.
Propriedades
[editar | editar código-fonte]- Pode-se imitar a demonstração acima para mostrar que a união enumerável de conjuntos de medida zero tem medida zero
- É fácil ver que se e B tem medida zero, então A também tem medida zero (esta é a definição de medida completa).
- O lema de Riemann-Lebesgue diz que uma função real limitada é integrável a Riemann se e somente se seus pontos de descontinuidade formam um conjunto de medida zero.
Ver também
[editar | editar código-fonte]- Conjunto de Cantor, um exemplo de conjunto não-enumerável na reta com medida zero.
- Medida
- Medida de Lebesgue
- Medida exterior de Lebesgue
- Sigma-álgebra