Uma ilustração dos limites superior e inferior. A sequência x n é mostrada em azul. Em matemática , sobretudo na análise , o conceito de limite assume fundamental importância. Nem toda sequência real, no entanto, possui um limite bem definido. O limite superior e o limite inferior , não obstante, estão sempre bem definidos.
Quando uma sequência é convergente, o limite, o limite inferior e o. limite superior coincidem. Reciprocamente, uma sequência possui limite quando o limite inferior coincide com o limite superior.
Também se definem limite superior e limite inferior para sequências de conjuntos .
Considere uma sequência { a n } n ∈ N {\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\,} de números reais qualquer. Defina a sequência auxiliar:
A N = sup n ≥ N a n {\displaystyle A_{N}=\sup _{n\geq N}a_{n}\,} A sequência A N {\displaystyle A_{N}\,} é claramente não-crescente, pois é supremo de uma família cada vez menor de números reais. Por ser uma sequência monótona , seu limite existe (podendo ser infinito se cada A N {\displaystyle A_{N}\,} for infinito) é o ínfimo da sequência.
O limite superior de { a n } n ∈ N {\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\,} é então definido o limite da sequência A N {\displaystyle A_{N}\,} . Denota-se:
lim sup n → ∞ a n = lim n → ∞ ¯ a n = inf N ∈ N sup n ≥ N a n = lim N → ∞ sup n ≥ N a n {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }a_{n}={\overline {\lim _{n\to \infty }}}a_{n}=\inf _{N\in \mathbb {N} }\sup _{n\geq N}a_{n}=\lim _{N\to \infty }\sup _{n\geq N}a_{n}\,} E, de forma perfeitamente análoga, define-se o limite inferior :
lim inf n → ∞ a n = lim n → ∞ _ a n = sup N ∈ N inf n ≥ N a n = lim N → ∞ inf n ≥ N a n {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }a_{n}={\underline {\lim _{n\to \infty }}}a_{n}=\sup _{N\in \mathbb {N} }\inf _{n\geq N}a_{n}=\lim _{N\to \infty }\inf _{n\geq N}a_{n}\,} Sejam { a n } n ∈ N {\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\,} e { b n } n ∈ N {\displaystyle \{b_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\,} sequências de números reais, então valem as afirmações:
lim inf n → ∞ a n ≤ lim sup n → ∞ a n {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }a_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }a_{n}\,} lim inf n → ∞ − a n = − lim sup n → ∞ a n {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }-a_{n}=-\limsup _{n\to \infty }a_{n}\,} lim sup n → ∞ ( a n + b n ) ≤ lim sup n → ∞ a n + lim sup n → ∞ b n {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)\leq \limsup _{n\to \infty }a_{n}+\limsup _{n\to \infty }b_{n}\,} lim inf n → ∞ ( a n + b n ) ≥ lim inf n → ∞ a n + lim inf n → ∞ b n {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)\geq \liminf _{n\to \infty }a_{n}+\liminf _{n\to \infty }b_{n}\,} Seja { a n ( k ) } {\displaystyle \{a_{n(k)}\}} uma subsequência de { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} que possua limite, então lim k → ∞ ( a n ( k ) ) ≤ lim sup n → ∞ a n {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left(a_{n(k)}\right)\leq \limsup _{n\to \infty }a_{n}\,} Em algumas situações, sobretudo na teoria da medida , é conveniente definir os conceitos de limite superior e inferior para uma sequência de conjuntos.
Se E n {\displaystyle E_{n}\,} é uma sequência de conjuntos, então define-se:
O limite superior é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a uma infinidade de conjuntos E n {\displaystyle E_{n}\,} . O limite inferior é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a cada um dos E n {\displaystyle E_{n}\,} exceto por um número finito deles. Pode-se mostrar que estas definições coincidem com as seguintes:
lim sup n → ∞ E n = lim n → ∞ ¯ E n = ⋂ n = 1 ∞ ⋃ k = n ∞ E k {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }E_{n}={\overline {\lim _{n\to \infty }}}E_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }E_{k}\,} lim inf n → ∞ E n = lim n → ∞ _ E n = ⋃ n = 1 ∞ ⋂ k = n ∞ E k {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }E_{n}={\underline {\lim _{n\to \infty }}}E_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcap _{k=n}^{\infty }E_{k}\,} É sempre verdade que lim inf n → ∞ E n ⊆ lim sup n → ∞ E n {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }E_{n}\subseteq \limsup _{n\to \infty }E_{n}\,} . Quando estes conjuntos coincidem, dizemos que o limite existe:
lim n → ∞ E n = lim inf n → ∞ E n = lim sup n → ∞ E n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }E_{n}=\liminf _{n\to \infty }E_{n}=\limsup _{n\to \infty }E_{n}\,}