Menos um – Wikipédia, a enciclopédia livre
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Cardinal [en] | −1, menos um, um negativo | ||||
Ordinal [en] | −1º (primeiro negativo) | ||||
Arábico | −١ | ||||
Algarismo chinês [en] | 负一,负弌,负壹 | ||||
Bengali | −১ | ||||
Binário (byte) |
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Hexadecimal (byte) |
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Na matemática, −1 (um negativo ou menos um) é o inverso aditivo de 1, ou seja, o número que adicionado a 1 dá o elemento de identidade aditivo, 0. É o número inteiro negativo maior que dois negativo (−2) e menor que 0.
Propriedades algébricas
[editar | editar código-fonte]Multiplicação
[editar | editar código-fonte]Multiplicar um número por −1 equivale a mudar o sinal do número – ou seja, para qualquer x temos (−1) ⋅ x = −x. Isso pode ser provado usando a lei distributiva e o axioma de que 1 é a identidade multiplicativa:
- x + (−1) ⋅ x = 1 ⋅ x + (−1) ⋅ x = (1 + (−1)) ⋅ x = 0 ⋅ x = 0.
Aqui usamos o fato de que qualquer número x vezes 0 é igual a 0, o que segue pelo cancelamento en a partir da equação
- 0 ⋅ x = (0 + 0) ⋅ x = 0 ⋅ x + 0 ⋅ x.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c6/ImaginaryUnit5.svg/220px-ImaginaryUnit5.svg.png)
Em outras palavras,
- x + (−1) ⋅ x = 0,
então (−1) ⋅ x é o inverso aditivo de x, ou seja, (−1) ⋅ x = −x, como seria mostrado.
Quadrado de −1
[editar | editar código-fonte]O quadrado de −1, ou seja, −1 multiplicado por −1, é igual a 1. Como consequência, um produto de dois números negativos é positivo.
Para uma prova algébrica desse resultado, comece com a equação
- 0 = −1 ⋅ 0 = −1 ⋅ [1 + (−1)].
A primeira igualdade decorre do resultado acima, e a segunda decorre da definição de −1 como inverso aditivo de 1: é precisamente esse número que quando adicionado a 1 dá 0. Agora, usando a lei distributiva, pode-se ver que
- 0 = −1 ⋅ [1 + (−1)] = −1 ⋅ 1 + (−1) ⋅ (−1) = −1 + (−1) ⋅ (−1).
A terceira igualdade decorre do fato de que 1 é uma identidade multiplicativa. Mas agora adicionar 1 a ambos os lados desta última equação implica
- (−1) ⋅ (−1) = 1.
Os argumentos acima mantêm em qualquer anel, um conceito de álgebra abstrata generalizando números inteiros e reais.
Raízes quadradas de −1
[editar | editar código-fonte]Embora não haja raízes quadradas reais de −1, o número complexo i satisfaz i2 = −1 e, como tal, pode ser considerado como uma raiz quadrada de −1.[1][2] O único outro número complexo cujo quadrado é −1 é −i porque existem exatamente duas raízes quadradas de qualquer número complexo diferente de zero, o que segue do teorema fundamental da álgebra. Na álgebra dos quatérnios – onde não se aplica o teorema fundamental – que contém os números complexos, a equação x2 = −1 tem infinitas soluções [en].
Exponenciação a números inteiros negativos
[editar | editar código-fonte]A exponenciação de um número real diferente de zero pode ser estendida para números inteiros negativos. Definimos que x−1 = 1x, o que significa que definimos elevar um número à potência −1 para ter o mesmo efeito que elevar seu recíproco. Esta definição é então estendida para números inteiros negativos, preservando a lei exponencial xaxb = x(a + b) para números reais a e b.
A exponenciação para números inteiros negativos pode ser estendida para elementos invertíveis de um anel, definindo x−1 como o [✓inverso multiplicativo]] de x.
Um −1 que aparece como um sobrescrito de uma função não significa tomar o recíproco (pontual) dessa função, mas sim a função inversa da função. Por exemplo, {{Math|sen−1(x)} é uma notação para a função arcseno e, em geral, f −1(x) denota a função inversa de f(x). Quando um subconjunto do contradomínio é especificado dentro da função, ele denota a pré-imagem [en] desse subconjunto na função.
Usos
[editar | editar código-fonte]- No desenvolvimento de software, –1 é um valor inicial comum para números inteiros e também é usado para mostrar que uma variável não contém informações úteis [en].
- −1 guarda relação com a identidade de Euler desde que eiπ = −1.
Ver também
[editar | editar código-fonte]Referências
[editar | editar código-fonte]- ↑ «Imaginary numbers». Math is Fun (em inglês). Consultado em 15 de fevereiro de 2021
- ↑ Weisstein, Eric W. «Imaginary number». MathWorld (em inglês). Consultado em 15 de fevereiro de 2021