Poliedro platônico inscrito em esfera – Wikipédia, a enciclopédia livre

Um poliedro platônico está inscrito em uma esfera, quando todos os seus vértices tangenciam a superfície da esfera.^[1]

Dizer que a esfera está circunscrita ao poliedro platônico é uma possibilidade para descrever o mesmo conceito.

Se ${\displaystyle d}$ é a medida da aresta do poliedro platônico, então é possível definir o valor do raio da esfera circunscrita ao poliedro em função de ${\displaystyle d}$.

Fixe ${\displaystyle d}$ como sendo a medida da aresta do tetraedro regular inscrito em uma esfera.

Seja ${\displaystyle O}$ o ponto central da esfera inscrita ao tetraedro. Logo, o segmento que se estende do ponto ${\displaystyle O}$ até um dos vértices do tetraedro será igual a medida do raio da esfera circunscrita a ele.

Sabendo que no tetraedro regular, a soma das distâncias de um ponto interior qualquer até as suas quatro faces é igual à altura do tetraedro, então vale que a soma das distâncias do ponto ${\displaystyle O}$ até cada uma das faces resulta no valor da altura ${\displaystyle h}$ do tetraedro. Logo, como cada uma dessas distâncias é igual a medida do raio ${\displaystyle r}$ da esfera inscrita, segue que

${\displaystyle 4r=h}$${\displaystyle \Rightarrow r={\frac {h}{4}}.}$

Como ${\displaystyle h={\frac {\sqrt {6}}{3}}d}$, então

${\displaystyle r={\frac {{\frac {\sqrt {6}}{3}}d}{4}}}$${\displaystyle \Rightarrow r={\frac {\sqrt {6}}{3\cdot 4}}d}$${\displaystyle \Rightarrow r={\frac {\sqrt {6}}{12}}d.}$

Mas observe que, ${\displaystyle R+r=h}$, ou seja

${\displaystyle R+r=h}$${\displaystyle \Rightarrow R+{\frac {\sqrt {6}}{12}}d={\frac {\sqrt {6}}{3}}d}$${\displaystyle \Rightarrow R={\frac {\sqrt {6}}{3}}d-{\frac {\sqrt {6}}{12}}d}$${\displaystyle \Rightarrow R={\frac {4{\sqrt {6}}}{12}}d-{\frac {\sqrt {6}}{12}}d}$${\displaystyle \Rightarrow R={\frac {3{\sqrt {6}}}{12}}d}$${\displaystyle \Rightarrow R={\frac {\sqrt {6}}{4}}d.}$^[2]

Seja ${\displaystyle d}$ a medida da aresta do cubo. O valor do raio ${\displaystyle R}$ da esfera circunscrita, será igual a metade do valor da diagonal do cubo. Logo, como a diagonal do cubo vale ${\displaystyle d{\sqrt {3}}}$, então ${\displaystyle R={\frac {\sqrt {3}}{2}}d.}$^[2]

Seja ${\displaystyle d}$ a medida da aresta do octaedro regular. A medida do raio ${\displaystyle R}$ da esfera circunscrita é igual a metade do valor da diagonal do octaedro. Como a diagonal do octaedro regular vale ${\displaystyle d{\sqrt {2}}}$, segue que ${\displaystyle R={\frac {\sqrt {2}}{2}}d.}$^[2]

Fixe ${\displaystyle d}$ como sendo a medida da aresta de um dodecaedro regular inscrito em uma esfera. A medida do raio ${\displaystyle R}$ da esfera circunscrita é dada por ${\displaystyle R={\frac {\sqrt {3}}{4}}(1+{\sqrt {5}})d}$.^[3]

Defina ${\displaystyle d}$ como sendo o valor da medida da aresta de um icosaedro regular inscrito em uma esfera. A medida do raio ${\displaystyle R}$ da esfera circunscrita ao poliedro é dada por ${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {(10+2{\sqrt {5}})}}d}$.^[3]

Seja ${\displaystyle d}$ a medida da aresta de um poliedro. A tabela seguinte agrupa os valores do raio da esfera circunscrita, além do volume de cada poliedro em função de ${\displaystyle d}$.

Poliedro	Raio da esfera circunscrita	Volume
Tetraedro	${\displaystyle {\frac {\sqrt {6}}{4}}d}$ [4]	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{12}}d^{3}}$ [5]
Cubo ou Hexaedro regular	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}d}$ [4]	${\displaystyle d^{3}}$ [4]
Octaedro	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}d}$ [4]	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{3}}d^{3}}$[6]
Dodecaedro	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}(1+{\sqrt {5}})d}$[3]	${\displaystyle {\frac {1}{4}}(15+7{\sqrt {5}})d^{3}}$ [7]
Icosaedro	${\displaystyle {\frac {1}{4}}{\sqrt {(10+2{\sqrt {5}})}}d}$[3]	${\displaystyle {\frac {5}{12}}(3+{\sqrt {5}})d^{3}}$ [8]

Para determinar a porcentagem do volume da esfera ocupado por um poliedro platônico inscrito a ela, pode-se utilizar a fórmula do volume do poliedro (que está fixado na tabela de propriedades métricas dos poliedros platônicos) e o raio da esfera circunscrita ao poliedro para calcular o volume da esfera circunscrita.

A fórmula utilizada para calcular o volume da esfera é:

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\cdot \pi R^{3}.}$ ^[4]

Assim, o volume da esfera corresponderá a 100% do total e o volume do poliedro inscrito corresponderá à porcentagem ocupada que queremos descobrir (utilizaremos x).

É possível relacionar os volumes por meio da regra de três. Abaixo, seguem desenvolvidas as relações para os cinco poliedros platônicos:

• Tetraedro:

Para representar o volume do tetraedro, utilizaremos ${\displaystyle V_{1}}$, e para o volume da esfera circunscrita ao tetraedro, utilizaremos ${\displaystyle V_{2}}$:

${\displaystyle V_{1}={\frac {\sqrt {2}}{12}}\cdot d^{3}}$

${\displaystyle V_{2}={\dfrac {4\pi {\Big (}{\frac {{\sqrt {6}}\cdot d}{4}}{\Big )}^{3}}{3}}\Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi {\Big (}{\frac {6{\sqrt {6}}\cdot d^{3}}{64}}{\Big )}}{3}}\Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi \cdot 6{\sqrt {6}}\cdot d^{3}}{64\cdot 3}}\Rightarrow V_{2}={\dfrac {\pi {\sqrt {6}}\cdot d^{3}}{8}}.}$

Assim, o volume da esfera (${\displaystyle V_{2}}$) representa 100% e o volume do tetraedro (${\displaystyle V_{1}}$) será representado por ${\displaystyle x}$.

Utilizando regra de três, tem-se:

${\displaystyle {\frac {V_{1}}{V_{2}}}={\frac {x}{100\%}}\Rightarrow 100\%\cdot V_{1}=x\cdot V_{2}.}$

Substituindo os valores obtidos para ${\displaystyle V_{1}}$ e ${\displaystyle V_{2}}$:

${\displaystyle 100\%\cdot V_{1}=x\cdot V_{2}}$${\displaystyle \Rightarrow 100\%\cdot {\frac {\sqrt {2}}{12}}\cdot d^{3}=x\cdot {\frac {\pi {\sqrt {6}}\cdot d^{3}}{8}}}$${\displaystyle \Rightarrow {\frac {100\%{\sqrt {2}}\cdot d^{3}}{12}}\cdot {\frac {8}{\pi {\sqrt {6}}\cdot d^{3}}}=x}$${\displaystyle \Rightarrow {\frac {8\cdot 100\%{\sqrt {2}}\cdot d^{3}}{12\pi {\sqrt {6}}\cdot d^{3}}}=x}$${\displaystyle \Rightarrow {\frac {200\%}{3\pi {\sqrt {3}}}}=x}$${\displaystyle \Rightarrow {\frac {200\%{\sqrt {3}}}{3\pi {\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {3}}}}=x}$${\displaystyle \Rightarrow {\frac {200\%{\sqrt {3}}}{9\pi }}=x.}$

Utilizando ${\displaystyle \pi \cong 3,14}$ e ${\displaystyle {\sqrt {3}}\cong 1,73}$:

${\displaystyle {\frac {200\%\cdot 1,73}{9\cdot 3,14}}\cong x}$${\displaystyle \Rightarrow {\frac {346\%}{28,26}}\cong x}$${\displaystyle \Rightarrow 12,24\%\cong x.}$^[9]

• Cubo:

Fixemos ${\displaystyle V_{1}}$ para representar o volume do cubo e ${\displaystyle V_{2}}$ para representar o volume da esfera circunscrita ao cubo:

${\displaystyle V_{1}=d^{3}}$

${\displaystyle V_{2}={\dfrac {4\pi {\Big (}{\frac {{\sqrt {3}}\cdot d}{2}}{\Big )}^{3}}{3}}\Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi {\Big (}{\frac {3{\sqrt {3}}\cdot d^{3}}{8}}{\Big )}}{3}}\Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi \cdot 3{\sqrt {3}}\cdot d^{3}}{8\cdot 3}}\Rightarrow V_{2}={\dfrac {\pi {\sqrt {3}}\cdot d^{3}}{2}}.}$

Logo, se ${\displaystyle V_{2}}$ equivale a 100% do volume, então ${\displaystyle V_{1}}$ equivale a ${\displaystyle x}$ por cento.

Novamente, por meio de regra de três:

${\displaystyle {\frac {V_{1}}{V_{2}}}={\frac {x}{100\%}}\Rightarrow 100\%\cdot V_{1}=x\cdot V_{2}.}$

Substituindo ${\displaystyle V_{1}}$ e ${\displaystyle V_{2}}$:

${\displaystyle 100\%\cdot V_{1}=x\cdot V_{2}}$${\displaystyle \Rightarrow 100\%\cdot d^{3}=x\cdot {\frac {\pi {\sqrt {3}}\cdot d^{3}}{2}}}$${\displaystyle \Rightarrow 100\%\cdot d^{3}\cdot {\frac {2}{\pi {\sqrt {3}}\cdot d^{3}}}=x}$${\displaystyle \Rightarrow {\frac {200\%\cdot d^{3}}{\pi {\sqrt {3}}\cdot d^{3}}}=x}$${\displaystyle \Rightarrow {\frac {200\%}{\pi {\sqrt {3}}}}=x}$${\displaystyle \Rightarrow {\frac {200\%{\sqrt {3}}}{\pi {\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {3}}}}=x}$${\displaystyle \Rightarrow {\frac {200\%{\sqrt {3}}}{3\pi }}=x.}$

Para ${\displaystyle \pi \cong 3,14}$ e ${\displaystyle {\sqrt {3}}\cong 1,73}$, conclui-se:

${\displaystyle {\frac {200\%\cdot 1,73}{3\cdot 3,14}}\cong x}$${\displaystyle \Rightarrow {\frac {346\%}{9,42}}\cong x}$${\displaystyle \Rightarrow 36,73\%\cong x.}$^[9]

• Octaedro:

Sendo o volume do octaedro representado por ${\displaystyle V_{1}}$ e o volume da esfera circunscrita ao octaedro representado por ${\displaystyle V_{2}}$:

${\displaystyle V_{1}={\frac {\sqrt {2}}{3}}\cdot d^{3}}$

${\displaystyle V_{2}={\dfrac {4\pi {\Big (}{\frac {{\sqrt {2}}\cdot d}{2}}{\Big )}^{3}}{3}}\Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi {\Big (}{\frac {2{\sqrt {2}}\cdot d^{3}}{8}}{\Big )}}{3}}\Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi \cdot 2{\sqrt {2}}\cdot d^{3}}{8\cdot 3}}\Rightarrow V_{2}={\dfrac {\pi {\sqrt {2}}\cdot d^{3}}{3}}.}$

Como ${\displaystyle V_{1}}$ representa 100% do volume, então ${\displaystyle V_{2}}$ ocupará ${\displaystyle x}$ por cento do volume da esfera. Assim:

${\displaystyle {\frac {V_{1}}{V_{2}}}={\frac {x}{100\%}}\Rightarrow 100\%\cdot V_{1}=x\cdot V_{2}.}$

Novamente, substituindo ${\displaystyle V_{1}}$ e ${\displaystyle V_{2}}$:

${\displaystyle 100\%\cdot V_{1}=x\cdot V_{2}}$${\displaystyle \Rightarrow 100\%\cdot {\frac {\sqrt {2}}{3}}\cdot d^{3}=x\cdot {\frac {\pi {\sqrt {2}}\cdot d^{3}}{3}}}$${\displaystyle \Rightarrow {\dfrac {100\%\cdot {\sqrt {2}}\cdot d^{3}}{3}}\cdot {\frac {3}{\pi {\sqrt {2}}\cdot d^{3}}}=x}$${\displaystyle \Rightarrow {\frac {100\%}{\pi }}=x.}$

Utilizando ${\displaystyle \pi \cong 3,14}$:

${\displaystyle {\frac {100\%}{3,14}}\cong x}$${\displaystyle \Rightarrow 31,85\%\cong x.}$^[9]

• Dodecaedro:

Agora, seja ${\displaystyle V_{1}}$ o volume do dodecaedro e ${\displaystyle V_{2}}$ o volume da esfera circunscrita ao dodecaedro:

${\displaystyle V_{1}={\frac {1}{4}}\cdot (15+7{\sqrt {5}})\cdot d^{3}}$

${\displaystyle V_{2}={\dfrac {4\pi \cdot {\Big (}{\frac {\sqrt {3}}{4}}\cdot (1+{\sqrt {5}})\cdot d{\Big )}^{3}}{3}}}$${\displaystyle \Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi \cdot {\Big (}{\frac {{\sqrt {3}}\cdot d}{4}}+{\frac {{\sqrt {15}}\cdot d}{4}}{\Big )}^{3}}{3}}}$${\displaystyle \Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi \cdot {\Big (}{\frac {{\sqrt {3}}\cdot d}{4}}+{\frac {{\sqrt {15}}\cdot d}{4}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {{\sqrt {3}}\cdot d}{4}}+{\frac {{\sqrt {15}}\cdot d}{4}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {{\sqrt {3}}\cdot d}{4}}+{\frac {{\sqrt {15}}\cdot d}{4}}{\Big )}}{3}}}$${\displaystyle \Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi \cdot {\Big (}{\frac {3d^{2}}{16}}+{\frac {{\sqrt {45}}\cdot d^{2}}{16}}+{\frac {{\sqrt {45}}\cdot d^{2}}{16}}+{\frac {15d^{2}}{16}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {{\sqrt {3}}\cdot d}{4}}+{\frac {{\sqrt {15}}\cdot d}{4}}{\Big )}}{3}}}$${\displaystyle \Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi \cdot {\Big (}{\frac {3d^{2}}{16}}+{\frac {2{\sqrt {45}}\cdot d^{2}}{16}}+{\frac {15d^{2}}{16}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {{\sqrt {3}}d}{4}}+{\frac {{\sqrt {15}}d}{4}}{\Big )}}{3}}}$${\displaystyle \Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi \cdot {\Big (}{\frac {3d^{2}}{16}}+{\frac {6{\sqrt {5}}\cdot d^{2}}{16}}+{\frac {15d^{2}}{16}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {{\sqrt {3}}\cdot d}{4}}+{\frac {{\sqrt {15}}\cdot d}{4}}{\Big )}}{3}}}$${\displaystyle \Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi \cdot {\Big (}{\frac {3{\sqrt {3}}\cdot d^{3}}{64}}+{\frac {6{\sqrt {15}}\cdot d^{3}}{64}}+{\frac {15{\sqrt {3}}\cdot d^{3}}{64}}+{\frac {3{\sqrt {15}}\cdot d^{3}}{64}}+{\frac {6{\sqrt {75}}\cdot d^{3}}{64}}+{\frac {15{\sqrt {15}}\cdot d^{3}}{64}}{\Big )}}{3}}}$${\displaystyle \Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi \cdot {\Big (}{\frac {3{\sqrt {3}}\cdot d^{3}}{64}}+{\frac {6{\sqrt {15}}\cdot d^{3}}{64}}+{\frac {15{\sqrt {3}}\cdot d^{3}}{64}}+{\frac {3{\sqrt {15}}\cdot d^{3}}{64}}+{\frac {30{\sqrt {3}}\cdot d^{3}}{64}}+{\frac {15{\sqrt {15}}\cdot d^{3}}{64}}{\Big )}}{3}}}$${\displaystyle \Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi \cdot {\Big (}{\frac {48{\sqrt {3}}\cdot d^{3}}{64}}+{\frac {24{\sqrt {15}}\cdot d^{3}}{64}}{\Big )}}{3}}}$${\displaystyle \Rightarrow V_{2}={\dfrac {\pi \cdot {\Big (}{\frac {48{\sqrt {3}}\cdot d^{3}+24{\sqrt {15}}\cdot d^{3}}{16}}{\Big )}}{3}}}$${\displaystyle \Rightarrow V_{2}={\dfrac {48{\sqrt {3}}\cdot d^{3}\cdot \pi +24{\sqrt {15}}\cdot d^{3}\cdot \pi }{16\cdot 3}}}$${\displaystyle \Rightarrow V_{2}={\sqrt {3}}\cdot d^{3}\cdot \pi +{\frac {{\sqrt {15}}\cdot d^{3}\cdot \pi }{2}}}$${\displaystyle \Rightarrow V_{2}=\pi \cdot {\bigg (}{\sqrt {3}}+{\frac {\sqrt {15}}{2}}{\bigg )}\cdot d^{3}.}$

Desse modo, ${\displaystyle V_{2}}$ representa 100% do volume e ${\displaystyle V_{1}}$ representa ${\displaystyle x}$ por cento.

${\displaystyle {\frac {V_{1}}{V_{2}}}={\frac {x}{100\%}}\Rightarrow 100\%\cdot V_{1}=x\cdot V_{2}.}$

Logo, com os valores obtidos para ${\displaystyle V_{1}}$ e ${\displaystyle V_{2}}$:

${\displaystyle 100\%\cdot {\frac {1}{4}}\cdot (15+7{\sqrt {5}})\cdot d^{3}=x\cdot \pi \cdot {\bigg (}{\sqrt {3}}+{\frac {\sqrt {15}}{2}}{\bigg )}\cdot d^{3}}$${\displaystyle \Rightarrow {\frac {(1500\%+700\%{\sqrt {5}})\cdot d^{3}}{4}}=x\cdot \pi \cdot {\bigg (}{\sqrt {3}}+{\frac {\sqrt {15}}{2}}{\bigg )}\cdot d^{3}}$${\displaystyle \Rightarrow (1500\%+700\%{\sqrt {5}})\cdot d^{3}=4\cdot x\cdot \pi \cdot {\bigg (}{\sqrt {3}}+{\frac {\sqrt {15}}{2}}{\bigg )}\cdot d^{3}}$${\displaystyle \Rightarrow (1500\%+700\%{\sqrt {5}})\cdot d^{3}=x\cdot \pi \cdot {\Big (}4{\sqrt {3}}+2{\sqrt {15}}{\Big )}\cdot d^{3}}$${\displaystyle \Rightarrow {\dfrac {(1500\%+700\%{\sqrt {5}})\cdot d^{3}}{\pi \cdot {\Big (}4{\sqrt {3}}+2{\sqrt {15}}{\Big )}\cdot d^{3}}}=x}$${\displaystyle \Rightarrow {\dfrac {1500\%+700\%{\sqrt {5}}}{2\pi \cdot {\Big (}2{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}{\Big )}}}=x.}$

Para ${\displaystyle {\sqrt {5}}\cong 2,24}$, ${\displaystyle \pi \cong 3,14}$, ${\displaystyle {\sqrt {3}}\cong 1,73}$ e ${\displaystyle {\sqrt {15}}\cong 3,87}$, tem-se:

${\displaystyle {\dfrac {1500\%+700\%\cdot 2,24}{2\cdot 3,14\cdot {\Big (}2\cdot 1,73+3,87{\Big )}}}\cong x}$${\displaystyle \Rightarrow {\dfrac {3068\%}{46,03}}\cong x}$${\displaystyle \Rightarrow 66,65\%\cong x}$.^[9]

• Icosaedro:

Para representar o volume do icosaedro utilizaremos ${\displaystyle V_{1}}$ e para representar o volume da esfera circunscrita ao icosaedro utilizaremos ${\displaystyle V_{2}}$:

${\displaystyle V_{1}={\frac {5}{12}}\cdot (3+{\sqrt {5}})\cdot d^{3}}$

${\displaystyle V_{2}={\dfrac {4\pi {\Big (}{\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\cdot d{\Big )}^{3}}{3}}}$${\displaystyle \Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi {\Big (}{\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\cdot d{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\cdot d{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\cdot d{\Big )}}{3}}}$${\displaystyle \Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi {\Big (}{\frac {(10+2{\sqrt {5}})\cdot d^{2}}{16}}\cdot d{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\cdot d{\Big )}}{3}}}$${\displaystyle \Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi {\Big (}{\frac {5d^{2}}{8}}+{\frac {{\sqrt {5}}\cdot d^{2}}{8}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\cdot d{\Big )}}{3}}}$${\displaystyle \Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi {\bigg (}{\frac {5{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\cdot d^{3}}{32}}+{\frac {{\sqrt {5\cdot (10+2{\sqrt {5}})}}\cdot d^{3}}{32}}{\bigg )}}{3}}}$${\displaystyle \Rightarrow V_{2}={\dfrac {\pi {\bigg (}{\frac {5{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\cdot d^{3}+{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}\cdot d^{3}}{8}}{\bigg )}}{3}}}$${\displaystyle \Rightarrow V_{2}={\frac {\pi {\Big (}5{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{\Big )}\cdot d^{3}}{8\cdot 3}}}$${\displaystyle \Rightarrow V_{2}=\pi \cdot {\Bigg (}{\frac {5{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}}{24}}{\Bigg )}\cdot d^{3}.}$

Como ${\displaystyle V_{2}}$ vale 100%, então o volume de ${\displaystyle V_{1}}$ será de ${\displaystyle x}$ por cento.

${\displaystyle {\frac {V_{1}}{V_{2}}}={\frac {x}{100\%}}\Rightarrow 100\%\cdot V_{1}=x\cdot V_{2}.}$

Ou seja, com os valores obtidos para ${\displaystyle V_{1}}$ e ${\displaystyle V_{2}}$:

${\displaystyle 100\%\cdot {\frac {5}{12}}\cdot (3+{\sqrt {5}})\cdot d^{3}=x\cdot \pi \cdot {\Bigg (}{\frac {5{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}}{24}}{\Bigg )}\cdot d^{3}}$${\displaystyle \Rightarrow {\frac {(1500\%+500\%{\sqrt {5}})\cdot d^{3}}{12}}=x\cdot {\Bigg [}{\frac {\pi \cdot {\Big (}5{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{\Big )}\cdot d^{3}}{24}}{\Bigg ]}}$${\displaystyle \Rightarrow {\Bigg [}{\frac {(1500\%+500\%{\sqrt {5}})\cdot d^{3}}{12}}{\Bigg ]}\cdot {\Bigg [}{\frac {24}{\pi \cdot {\Big (}5{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{\Big )}\cdot d^{3}}}{\Bigg ]}=x}$${\displaystyle \Rightarrow {\frac {2\cdot (1500\%+500\%{\sqrt {5}})}{\pi \cdot {\Big (}5{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{\Big )}}}=x.}$

Utilizando ${\displaystyle {\sqrt {5}}\cong 2,24}$ e ${\displaystyle \pi \cong 3,14}$:

${\displaystyle {\frac {2\cdot (1500\%+500\%\cdot 2,24)}{3,14\cdot {\Big (}5{\sqrt {10+2\cdot 2,24}}+{\sqrt {50+10\cdot 2,24}}{\Big )}}}\cong x}$${\displaystyle \Rightarrow {\frac {5240\%}{3,14\cdot {\Big (}5{\sqrt {14,48}}+{\sqrt {72,4}}{\Big )}}}\cong x.}$

Ainda, sendo ${\displaystyle {\sqrt {14,48}}\cong 3,81}$ e ${\displaystyle {\sqrt {72,4}}\cong 8,51}$:

${\displaystyle {\frac {5240\%}{3,14\cdot {\Big (}5\cdot 3,81+8,51{\Big )}}}\cong x}$${\displaystyle \Rightarrow {\frac {5240\%}{86,54}}\cong x}$${\displaystyle \Rightarrow 60,55\%\cong x.}$^[9]

• Poliedro
• Polígono regular

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