Teorema do confronto – Wikipédia, a enciclopédia livre
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Em cálculo, o Teorema do Enquadramento, também conhecido como o teorema do confronto, teorema da sanduíche, a regra da sanduíche, é um teorema relativo ao limite de uma função.
O teorema do confronto é utilizado em cálculo e análise matemática. É tipicamente utilizado para confirmar o limite de uma função através da comparação com duas outras funções cujos limites são conhecidos ou facilmente computados. Foi inicialmente utilizado geometricamente pelos matemáticos Arquimedes e Eudoxo num esforço para calcular π, e foi formulado em termos modernos por Carl Friedrich Gauss.
Em muitas línguas (por exemplo, francês, alemão, italiano, húngaro e russo), o teorema do aperto é também conhecido como o teorema dos dois polícias (e um bêbado), ou alguma variação do mesmo. Nessa história dois polícias estão escoltando um bêbado, não importa o quanto ele cambaleie entre eles, ou que caminho tomam, se forem capazes de o manter entre eles, e os dois polícias estiverem para a mesma cela, o bêbado também irá para essa mesma cela.
Teorema das funções enquadradas (Teorema do confronto para funções)
[editar | editar código-fonte]Sejam , e funções reais definidas num domínio e seja um ponto deste domínio, tais que:
Então, resulta destas condições que:
Teorema das sucessões enquadradas (Teorema do confronto aplicado a sucessões/sequências)
[editar | editar código-fonte]Sejam , e sucessões de números reais tais que:
Então, resulta destas condições que:
Para finito, a sucessão diz-se convergente (para ).
Exemplo (com )
[editar | editar código-fonte]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/83/Squeeze_theorem_2D_graph_with_function.jpg/250px-Squeeze_theorem_2D_graph_with_function.jpg)
Considere o gráfico à direita, no qual estão representadas as funções: (azul escuro), (cinzento tracejado) e (azul ciano).
Repare que a função está "enquadrada" (i.e., limitada inferior e superiormente) pelas outras duas funções:
e que
- ,
Conclui-se que o comportamento de à medida que traduz-se analiticamente por:
O resultado é análogo para as sucessões correspondentes às funções dadas, visto que a única diferença será o domínio da variável (nesse caso, ).