Triângulo retângulo – Wikipédia, a enciclopédia livre
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Um triângulo retângulo, em geometria, é um triângulo em que um dos ângulos é reto (ou seja, um ângulo de 90 graus). A relação entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo é a base da trigonometria.
O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa (lado na figura). Os lados adjacentes ao ângulo reto são chamados de catetos. O lado pode ser identificado como o lado adjacente ao ângulo e oposto ao ângulo , enquanto o lado é o lado adjacente ao ângulo e oposto ao ângulo .
Se os comprimentos dos três lados de um triângulo retângulo são inteiros, o triângulo é considerado um triângulo pitagórico e seus comprimentos laterais são coletivamente conhecidos como um triplo pitagórico.
Principais propriedades
[editar | editar código-fonte]Área
[editar | editar código-fonte]Como em qualquer triângulo, a área é igual à metade da base multiplicada pela altura correspondente. Em um triângulo retângulo, se um cateto é tomado como base, a outro é a altura; portanto, a área de um triângulo retângulo é metade do produto dos dois catetos. Como fórmula, a área é
onde e são os catetos do triângulo.
Se o círculo inscrito for tangente à hipotenusa no ponto , denotando o semiperímetro como , teremos e , e a área será dada por
Esta fórmula se aplica apenas a triângulos retângulos.[1]
Alturas
[editar | editar código-fonte]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/68/Teorema.png)
Se uma altura é traçada a partir do vértice com o ângulo reto em relação à hipotenusa, o triângulo é dividido em dois triângulos menores que são semelhantes ao original e, portanto, um ao outro. Disto:
- A altura da hipotenusa é a média geométrica (média proporcional) dos dois segmentos da hipotenusa.[2]:243
- Cada cateto do triângulo é a média proporcional da hipotenusa e o segmento da hipotenusa adjacente ao cateto.
Em equações,
- (isso às vezes é conhecido como o teorema da média geométrica)
onde , , , , , são mostrados no diagrama.[3] Portanto
Além disso, a altura da hipotenusa está relacionada aos catetos do triângulo retângulo por[4][5]
A altitude de um dos catetos coincide com a do outro. Como eles se cruzam no vértice em ângulo reto, o ortocentro do triângulo retângulo — a interseção de suas três alturas — coincide com o vértice em ângulo reto.
Teorema de Pitágoras
[editar | editar código-fonte]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png)
O teorema pitagórico afirma que:
Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os dois catetos (os dois lados que se encontram em ângulo reto).
Isso pode ser afirmado na forma de equação como
onde é o comprimento da hipotenusa e e são os comprimentos dos dois lados restantes.
Os triplos pitagóricos são valores inteiros de , , que satisfazem esta equação.
Inraio e circunraio
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O raio do círculo inscrito em um triângulo retângulo com os catetos e e hipotenusa é
O raio do círculo circunscrito é a metade do comprimento da hipotenusa,
Assim, a soma do circunraio e do inraio é a metade da soma dos catetos:[6]
Um dos catetos pode ser expresso em relação ao inraio e o outro cateto como
Caracterizações
[editar | editar código-fonte]Um triângulo com lados , semiperímetro , área , altura oposta ao lado mais longo, circunraio , inraio , exraio , , (tangente a , , respectivamente) e medianas , , é um triângulo retângulo se, e somente se, alguma das afirmações na as seis categorias a seguir são verdadeiras. Todos eles também são propriedades de um triângulo retângulo, já que caracterizações são equivalências.
Lados e semiperímetro
[editar | editar código-fonte]Ângulos
[editar | editar código-fonte]Área
[editar | editar código-fonte]- , onde é o ponto de tangência do incírculo no lado mais longo .[11]
Inraio e exraio
[editar | editar código-fonte]Altura e medianas
[editar | editar código-fonte]- [6]:Prob. 954, p. 26
- O comprimento de uma mediana é igual ao circunraio.
- A altura mais curta (a do vértice com o maior ângulo) é a média geométrica dos segmentos de reta em que divide o lado oposto (mais longo). Este é o teorema da altura do triângulo retângulo.
Círculo inscrito e circunscrito
[editar | editar código-fonte]- O triângulo pode ser inscrito em um semicírculo, com um lado coincidindo com a totalidade do diâmetro (Teorema de Tales).
- O circuncentro é o ponto médio do lado mais longo.
- O lado mais longo é o diâmetro do círculo circunscrito
- O circuncírculo é tangente ao círculo de nove pontos.[8]
- O ortocentro fica no circuncírculo.[6]
- A distância entre o incentro e o ortocentro é igual a .[6]
Referências
- ↑ Di Domenico, Angelo S., "A property of triangles involving area", Mathematical Gazette 87, Julho de 2003, pp. 323-324.
- ↑ Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T. Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996.
- ↑ Wentworth p. 156
- ↑ Voles, Roger, "Integer solutions of ," Mathematical Gazette 83, Julho de 1999, 269–271.
- ↑ Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," Mathematical Gazette 92, Julho de 2008, 313–317.
- ↑ a b c d Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum”, [1].
- ↑ «Triangle right iff s = 2R + r, Art of problem solving, 2011». Consultado em 4 de junho de 2020. Cópia arquivada em 28 de abril de 2014
- ↑ a b c d Andreescu, Titu and Andrica, Dorian, "Complex Numbers from A to...Z", Birkhäuser, 2006, pp. 109-110.
- ↑ «Properties of Right Triangles». Consultado em 4 de junho de 2020. Cópia arquivada em 31 de dezembro de 2011
- ↑ a b c CTK Wiki Math, A Variant of the Pythagorean Theorem, 2011, [2] Arquivado em 5 de agosto de 2013, no Wayback Machine..
- ↑ Darvasi, Gyula (março de 2005), «Converse of a Property of Right Triangles», The Mathematical Gazette, 89 (514): 72–76.
- ↑ Bell, Amy (2006), «Hansen's Right Triangle Theorem, Its Converse and a Generalization» (PDF), Forum Geometricorum, 6: 335–342
Bibliografia
[editar | editar código-fonte]- Weisstein, Eric W. «Right Triangle». MathWorld (em inglês)
- Wentworth, G.A. (1895). A Text-Book of Geometry. [S.l.]: Ginn & Co.