Caustică (matematică)

În geometria diferențială, o caustică este înfășurătoarea^⁠(d) unor drepte, fie reflectate, fie refractate de o varietate (dirimantă).^[1] Este legată de conceptul de caustică^⁠(d) din optica geometrică.^[2] Sursa razelor poate fi un punct (numit radiant) sau raze paralele dintr-un punct de la infinit, caz în care trebuie specificat un vector de direcție al razelor.

În general, mai ales aplicată la geometria simplectică și teoria singularităților^⁠(d), o caustică este mulțimea valorilor critice ale unei aplicații lagrangiene (π ○ i) : L ↪ M ↠ B; unde i : L ↪ M este o imersiune lagrangiană a unei submulțimi lagrangiene L într-o mulțime simplectică M, iar π : M ↠ B este un fibrat lagrangian al mulțimii simplectice M. Caustica este o submulțime a fibratului lagrangian B.^[3]

Concentrarea luminii, în special a Soarelui, poate arde. Cuvântul caustic provine din greacă καυστός (= fierbinte), prin latină causticus.

O situație comună în care causticele sunt vizibile este la lumina dintr-un pahar de băut. Sticla aruncă o umbră, dar produce și o regiune curbă de lumină strălucitoare. În circumstanțe ideale (inclusiv raze perfect paralele, ca de la o sursă punctuală aflată la infinit), poate fi produsă o zonă de lumină în formă de nefroidă^⁠(d).^[4][5] Causticele ondulate se formează de obicei atunci când lumina strălucește prin valuri de pe apă.

O altă caustică familiară este curcubeul.^[6][7] Împrăștierea luminii prin picăturile de ploaie face ca diferitele lungimi de undă ale luminii să se refracte diferit pe arcele din picături, producând curcubeul.

O catacaustică este produsă prin reflexie.

Pentru razele care pleacă dintr-un punct radiant, este evoluta podarei radiantului.

Cazul planar cu raze paralele: se presupune că vectorul direcție este ${\displaystyle (a,b)}$ și curba care reflectă este parametrizată ca ${\displaystyle (u(t),v(t))}$. Vectorul normal într-un punct este ${\displaystyle (-v'(t),u'(t))}$; reflectarea vectorului de direcție este (normal necesită o normalizare particulară)

${\displaystyle 2{\mbox{proj}}_{n}d-d={\frac {2n}{\sqrt {n\cdot n}}}{\frac {n\cdot d}{\sqrt {n\cdot n}}}-d=2n{\frac {n\cdot d}{n\cdot n}}-d={\frac {(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2},bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})}{v'^{2}+u'^{2}}}}$

Având componentele vectorului reflectat, el va fi tratat drept tangentă

${\displaystyle (x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})=(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2}).}$

Din cea mai simplă formulă a înfășurătoarei se obține

${\displaystyle F(x,y,t)=(x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})}$

${\displaystyle =x(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-y(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})+b(uv'^{2}-uu'^{2}-2vu'v')+a(-vu'^{2}+vv'^{2}+2uu'v')}$

${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=2x(bu'u''-a(u'v''+u''v')-bv'v'')-2y(av'v''-b(u''v'+u'v'')-au'u'')}$

${\displaystyle +b(u'v'^{2}+2uv'v''-u'^{3}-2uu'u''-2u'v'^{2}-2u''vv'-2u'vv'')+a(-v'u'^{2}-2vu'u''+v'^{3}+2vv'v''+2v'u'^{2}+2v''uu'+2v'uu'')}$

care poate fi inestetic, dar ${\displaystyle F=F_{t}=0}$ dă un sistem liniar^⁠(d) în ${\displaystyle (x,y)}$ și obținerea unei parametrizări a catacausticei este elementară. Se poate folosi regula lui Cramer^⁠(d).

Fie vectorul direcției (0,1) și curba care reflectă ${\displaystyle (t,t^{2}).}$ Atunci

${\displaystyle u'=1}$   ${\displaystyle u''=0}$   ${\displaystyle v'=2t}$   ${\displaystyle v''=2}$   ${\displaystyle a=0}$   ${\displaystyle b=1}$

${\displaystyle F(x,y,t)=(x-t)(1-4t^{2})+4t(y-t^{2})=x(1-4t^{2})+4ty-t}$

${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=-8tx+4y-1}$

iar ${\displaystyle F=F_{t}=0}$ are soluția ${\displaystyle (0,1/4).}$; De exemplu, lumina care intră întru-n reflector parabolic de-a lungul axei sale este reflectată în focar.

Portal Matematică

• en Eric W. Weisstein, Caustic la MathWorld.