Subspațiu ortogonal

În algebra liniară, pentru un subspațiu W al unui spațiu vectorial V, se numește subspațiu ortogonal (sau complement ortogonal) al acestuia, o mulțime W care posedă proprietatea că orice vector al acesteia este ortogonal pe orice vector din W.

Pentru a demonstra că un vector este ortogonal pe un subspațiu vectorial, este suficient să se demonstreze că acesta este ortogonal pe vectorii unei baze a subspațiului.


Propoziție. Fie W un subspațiu vectorial al spațiului vectorial V, o bază a lui W și x un vector oarecare din V. Atunci:

Demonstrație.

  • Faptul că este evident deoarece din rezultă căci
  • Pentru a demonstra implicația inversă, se va presupune că Trebuie demonstrat că oricare ar fi vectorul Cum orice vector se scrie în baza B sub forma se obține

Teorema subspațiului ortogonal

[modificare | modificare sursă]

Teoremă. Fie V un spațiu euclidian și W un subspațiu finit dimensional al acestuia. Atunci

Demonstrație. Se arată că orice vector se scrie în mod unic sub forma cu și Subspațiul W fiind finit dimensional, se notează cu n dimensiunea sa și se consideră o bază ortonormată a lui W.

Fie x un vector oarecare din V. Vectorul w definit prin:

aparține subspațiului W.

Se notează și se demonstrează că În baza propoziției anterioare, este suficient să se demonstreze că

Deci   cu     și  

Pentru a demonstra că e suma directă, se arată că  

Fie  


Corolar. Dacă V este un subspațiu euclidian finit dimensional, atunci orice W subspațiu vectorial al lui V, atunci are loc descompunerea  

  • În  
  • În