Triunghi ortic

Acest articol sau această secțiune are bibliografia incompletă sau inexistentă. Puteți contribui prin adăugarea de referințe în vederea susținerii bibliografice a afirmațiilor pe care le conține.

Triunghiul ortic este triunghiul determinat de picioarele înălțimilor unui triunghi oarecare.

Unghiurile triunghiului ortic sunt egale cu:

${\displaystyle \angle \ C'=\angle \ A'C'B'=\angle \ CC'A'+\angle \ CC'B'=\angle \ CAA'+\angle \ CBB'=\pi \ -2C}$

${\displaystyle \angle \ B'=\angle \ A'B'C'=\angle \ BB'A'+\angle \ BB'C'=\angle \ BAA'+\angle \ BCC'=\pi \ -2B}$

${\displaystyle \angle \ A'=\angle \ B'A'C'=\angle \ AA'B'+\angle \ AA'C'=\angle \ ABB'+\angle \ ACC'=\pi \ -2A}$

Demonstrație: ${\displaystyle ABA'B'}$ este patrulater inscriptibil, deci ${\displaystyle \angle \ CA'B'=\angle \ A.}$ La fel se procedează și pentru celelalte unghiuri.

Dacă se notează ${\displaystyle AA'=h_{a},BB'=h_{b},CC'=h_{c}}$ laturile triunghiului ortic sunt egale cu:

${\displaystyle A'B'=c.cosC}$, ${\displaystyle B'C'=a.cosA}$, ${\displaystyle A'C'=b.cosB}$

Demonstrație În Δ CB'A' se folosește teorema sinusurilor:

${\displaystyle {\frac {CA'}{sinB}}={\frac {A'B'}{sinC}}(1)}$

În triunghiul dreptunghic AA'C: ${\displaystyle cosC={\frac {CA'}{AC}}}$

${\displaystyle \rightarrow \ CA'=ACcosC=bcosC(2)}$

Din (1) și (2):

${\displaystyle A'B'}$ = ${\displaystyle {\frac {CA'sinC}{sinB}}}$ =${\displaystyle {\frac {ACcosCsinC}{sinB}}}$ = ${\displaystyle {\frac {bsinCcosC}{sinB}}}$ = ${\displaystyle (2RsinC)cosC}$ = ${\displaystyle c.cosC}$

Analog, se obțin și celelalte relații.

Notând:

R - raza cercului circumscris triunghiului ABC;

R* - raza cercului circumscris triunghiului ortic A'B'C'.

și aplicând teorema sinusurilor acestui triunghi, se obține:

${\displaystyle 2R^{*}={\frac {A'B'}{sinC'}}={\frac {c.cosC}{sin(\pi \ -2C)}}={\frac {c.cosC}{sin2C}}={\frac {c.cosC}{2sinCcosC}}}$ = ${\displaystyle {\frac {c}{2sinC}}=R}$

Prin urmare:

${\displaystyle R^{*}}$ = ${\displaystyle {\frac {R}{2}}}$

• Triunghi
• Bisectoare
• Mediatoare
• Mediană
• Linia mijlocie
• Înălțime (geometrie)
• Cercul celor nouă puncte