Гауссова функция — Википедия
Гауссова функция (гауссиан, гауссиана, функция Гаусса) — вещественная функция, описываемая следующей формулой:
- ,
где параметры — произвольные вещественные числа. Введена Гауссом в 1809 году как функция плотности нормального распределения, и наибольшее значение имеет в этом качестве, в этом случае параметры выражаются через среднеквадратическое отклонение и математическое ожидание :
- , , ,
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Normal_distribution_pdf.png/220px-Normal_distribution_pdf.png)
График гауссовой функции при и — колоколообразная кривая, параметр определяет максимальную высоту графика — пик колокола, отвечает за сдвиг пика от нуля (при — пик в нуле), а влияет на ширину (размах) колокола.
Существуют многомерные обобщения функциитеории вероятностей, статистике и других многочисленных приложениях как функции плотности нормального распределения, гауссиана имеет самостоятельное значение в математическом анализе, математической физике, теории обработки сигналов.
. Кроме применений вСвойства
[править | править код]Свойства гауссовой функции связаны с её конструкцией из экспоненциальной функции и вогнутой квадратичной функции, логарифм гауссианы — вогнутая квадратичная функция.
Параметр связан с полушириной колокола графика следующим образом:
- .
Гауссова функция может быть выражена через полуширину колокола графика следующим образом:
- .
Перегибы — две точки, в которых .
Гауссова функция аналитична, в пределе к обеим бесконечностям стремится к нулю:
- .
Будучи составленной из экспоненциальной функции и арифметических операций, гауссиана является элементарной, однако её первообразная неэлементарна; интеграл гауссовой функции:
— это (с точностью до постоянного множителя) — функция ошибок, являющаяся спецфункцией. При этом интеграл по всей числовой прямой (в связи со свойствами экспоненциальной функции) — константа[1]:
- .
Этот интеграл обращается в единицу только при условии:
- ,
и это даёт в точности тот случай, когда гауссиана является функцией плотности нормального распределения случайной переменной с математическим ожиданием и дисперсией .
Произведение гауссиан — гауссова функция; свёртка двух гауссовых функций даёт гауссову функцию, притом параметр свёртки выражается из соответствующих параметров входящих в неё гауссиан: . Произведение двух функций плотности нормального распределения, являясь гауссовой функцией, в общем случае не дает функцию плотности нормального распределения.
Многомерные обобщения
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Gaussian_2d.svg/220px-Gaussian_2d.svg.png)
,
,
,
Пример двумерного варианта гауссовой функции:
- ,
здесь задаёт высоту колокола, определяют сдвиг пика колокола от нулевой абсциссы, а отвечают за размах колокола. Объём под такой поверхностью:
В наиболее общей форме, двумерная гауссиана определяется следующим образом:
- ,
где матрица:
Вариант гауссовой функции в -мерном евклидовом пространстве:
- ,
где — вектор-столбец из компонентов, — положительно определённая матрица размера , и — операция транспонирования над .
Интеграл такой гауссовой функции над всем пространством :
- .
Возможно определить -мерный вариант и со сдвигом:
- ,
где — вектор сдвига, а матрица — симметричная () и положительно определённая.
Супергауссова функция
[править | править код]Супергауссова функция — обобщение гауссовой функции, в которой аргумент экспоненты возводится в степень :
- ,
получившая применение для описания свойств гауссовых пучков[2]. В двумерном случае супергауссова функция может быть рассмотрена с различными степенями по аргументам и [3]:
- .
Применения
[править | править код]Основное применение гауссовых функций и многомерных обобщений — в роли функции плотности вероятности нормального распределения и многомерного нормального распределения. Самостоятельное значение функция имеет для ряда уравнений математической физики, в частности, гауссианы являются функциями Грина для уравнения гомогенной и изотропной диффузии (соответственно, и для уравнения теплопроводности), и преобразование Вейерштрасса — операция свёртки обобщённой функции, выражающей начальные условия уравнения, с гауссовой функцией. Также гауссиана является волновой функцией основного состояния квантового гармонического осциллятора.
В вычислительной химии для определения молекулярных орбиталей используются так называемые гауссовы орбитали[англ.] — линейные комбинации гауссовых функций.
Гауссовы функции и их дискретные аналоги (такие, как дискретное гауссово ядро[англ.]) используются в цифровой обработке сигналов, обработке изображений, синтезе звука[4]; в частности, через гауссианы определяются гауссов фильтр и гауссово размытие[англ.]. В определении отдельных видов искусственных нейронных сетей также участвуют гауссовы функции.
Примечания
[править | править код]- ↑ Кампос, 2014, p. 1—2.
- ↑ A. Parent, M. Morin, P. Lavigne. Propagation of super-Gaussian field distributions // Optical and quantum electronics. — 1992. — № 9. — P. S1071—S1079.
- ↑ GLAD optical software commands manual, Entry on GAUSSIAN command . Applied Optics Research (15 декабря 2016). Архивировано 10 июня 2017 года.
- ↑ C. R. Popa. Current-mode Analog Nonlinear Function Synthesizer Structures. — Springer Switzerland, 2013. — С. 59. — 198 с. — ISBN 983-3-319-01035-9.
Литература
[править | править код]- L. M. B. C. Campos. 1.1. Evaluation of Integrals of Gaussian Functions // Generalized Calculus with Applications to Matter and Forces. — Boca Raton: CRC Press, 2014. — 823 с. — ISBN 978-1-4200-7115-3.
Ссылки
[править | править код]- Weisstein, Eric W. Gaussian Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Integrating The Bell Curve / MathPages (англ.)