Марковский процесс — Википедия
Ма́рковский проце́сс — случайный процесс, эволюция которого после любого заданного значения временно́го параметра не зависит от эволюции, предшествовавшей , при условии, что значение процесса в этот момент фиксировано («будущее» процесса не зависит от «прошлого» при известном «настоящем»; другая трактовка (Вентцель): «будущее» процесса зависит от «прошлого» лишь через «настоящее»).
Процесс Маркова — модель авторегрессии первого порядка AR(1): .
Марковская цепь — частный случай марковского процесса, когда пространство его состояний дискретно (то есть не более чем счётно)[1].
История
[править | править код]Определяющее марковский процесс свойство принято называть марковским; впервые оно было сформулировано А. А. Марковым, который в работах 1907 года[источник не указан 759 дней] положил начало изучению последовательностей зависимых испытаний и связанных с ними сумм случайных величин. Это направление исследований известно под названием теории цепей Маркова.
Однако уже в работе Л. Башелье[источник не указан 759 дней] можно усмотреть попытку трактовать броуновское движение как марковский процесс, попытку, получившую обоснование после исследований Винера в 1923 году[источник не указан 759 дней].
Основы общей теории марковских процессов с непрерывным временем были заложены Колмогоровым[источник не указан 759 дней].
Марковское свойство
[править | править код]Общий случай
[править | править код]Пусть — вероятностное пространство с фильтрацией по некоторому (частично упорядоченному) множеству ; и пусть — измеримое пространство. Случайный процесс , определённый на фильтрованном вероятностном пространстве, считается удовлетворяющим марковскому свойству, если для каждого и
Марковский процесс — это случайный процесс, удовлетворяющий марковскому свойству с естественной фильтрацией.
Для марковских цепей с дискретным временем
[править | править код]В случае, если является дискретным множеством и , определение может быть переформулировано:
- .
Пример марковского процесса
[править | править код]Рассмотрим простой пример марковского случайного процесса. По оси абсцисс случайным образом перемещается точка. В момент времени t = 0 точка находится в начале координат и остаётся там в течение одной секунды. Через секунду бросается монета — если выпал герб, то точка X перемещается на одну единицу длины вправо, если решка — влево. Через секунду снова бросается монета и производится такое же случайное перемещение, и так далее. Процесс изменения положения точки («блуждания») представляет собой случайный процесс с дискретным временем (t = 0, 1, 2, …) и счётным множеством состояний. Такой случайный процесс является марковским, так как следующее состояние точки зависит только от настоящего (текущего) состояния и не зависит от прошлых состояний (неважно, каким путём и за какое время точка попала в текущую координату).
Также примером марковского процесса является пуассоновский процесс с независимыми приращениями.
См. также
[править | править код]- Цепь Маркова
- Немарковский процесс
- Скрытая марковская модель
- Марковское свойство
- Марковский процесс принятия решений
Примечания
[править | править код]Литература
[править | править код]- Дьяконова Е . Е. Ветвящиеся процессы в марковской случайной среде // Дискрет. матем., 26:3 (2014), 10-29
- Марковский процесс : [арх. 21 октября 2022] / А. В. Прохоров // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
Ссылки
[править | править код]- Weisstein, Eric W. Markov process (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.