Нотация Фойгта — матричная форма записи симметричного тензора 4-го ранга. Впервые была предложена немецким физиком Вольдемаром Фойгтом для тензора упругости в формулировке закона Гука для анизотропных материалов.
Если тензор 4-ранга
обладает симметрией по первой и второй паре индексов:
,
,
то его элементы могут быть записаны в виде матрицы 6x6, используя следующую подстановку индексов:
![{\displaystyle 11\rightarrow 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0d5a6c3d3f2c2641b30594fbdc63705a2c8baa2)
![{\displaystyle 22\rightarrow 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/715bba19dbad4d2c7492ed752689808edf746ab2)
![{\displaystyle 33\rightarrow 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbeb5930ca9a4a4636eac43a1b4be4e4d2cfd27f)
![{\displaystyle 23,32\rightarrow 4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa7b377706d4157274b1c9d94a80bb8c1770e245)
![{\displaystyle 13,31\rightarrow 5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2890d5627881b6daa5212e93f56a41aa275f91f1)
.
Например, компонента
будет соответствовать элементу матрицы
.
Используя те же подстановки индексов, можно записывать симметричные тензоры 2 ранга в виде 6 векторов. При таком представлении результат умножения тензоров, вообще говоря, не соответствуют результату перемножения матриц. Для того, чтобы операция тензорного умножения могла быть записана в виде умножения матриц, может потребоваться введение дополнительных множителей.
Закон Гука в тензорном виде имеет вид (здесь и далее используется соглашение Эйнштейна о суммировании по повторяющимся индексам):
,
где
и
— тензоры напряжения и деформации. Так как эти тензоры являются симметричными, то тензор модулей упругости
обладает необходимой степенью симметрии для того, чтобы его возможно было записать в матричном виде. Более того, из соотношения:
,
где
— свободная энергия[уточнить] в случае изотермической деформации, или внутренняя энергия при адиабатической деформации, следует
. Отсюда следует, что существует только 21 линейно независимая компонента тензора упругих постоянных[1]. Поэтому матрица
, составленная из компонент
, будет симметричной. Закон Гука может быть записан в следующем виде:
,
где индексы
пробегают значения от 1 до 6, или:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1113}&c_{1112}\\\cdot &c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2213}&c_{2212}\\\cdot &\cdot &c_{3333}&c_{3323}&c_{3313}&c_{3312}\\\cdot &\cdot &\cdot &c_{2323}&c_{2313}&c_{2312}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &c_{1313}&c_{1312}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &c_{1212}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59502cbde41322a8d0ae34318243d1c5af3f483f)
В данной записи коэффициент 2 при компонентах тензора деформации
,
,
необходим для того, чтобы матричные уравнения в точности соответствовали тензорным. Например, в законе Гука в уравнение для компоненты
входит слагаемое
, которое в матричной записи соответствует слагаемому
.
Закон Гука может быть записан в эквивалентной тензорной форме, через тензор модулей податливости
:
![{\displaystyle \varepsilon _{ij}=s_{ijkl}\sigma _{kl}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a92a5b11335b22fe515bbd84acc4b4fdedf49b44)
Тензор
характеризуется той же степенью симметрии, что и
. Поэтому его компоненты тоже можно записать в виде матрицы 6x6 элементов. Однако данная матрица не будет обратной к матрице
.
Обратное матричное уравнение
, где
, выглядит следующим образом:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}s_{1111}&s_{1122}&s_{1133}&2s_{1123}&2s_{1113}&2s_{1112}\\\cdot &s_{2222}&s_{2233}&2s_{2223}&2s_{2213}&2s_{2212}\\\cdot &\cdot &s_{3333}&2s_{3323}&2s_{3313}&2s_{3312}\\\cdot &\cdot &\cdot &4s_{2323}&4s_{2313}&4s_{2312}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &4s_{1313}&4s_{1312}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &4s_{1212}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0138d12ba6debeb92b1dd83d253240f84cfdea61)
При переходе от декартовой системы координат
к декартовой системе координат
путём поворота, компоненты тензора упругих постоянных преобразуются по следующей формуле в соответствии с преобразованием тензора четвёртого ранга[2]:
![{\displaystyle C'_{ijkl}=n_{i\alpha }n_{j\beta }n_{k\gamma }n_{l\delta }C_{\alpha \beta \gamma \delta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19d513b64e095f9500d135c18ce17da666b38190)
Тензор упругости изотропного материала: упругие свойства определяются 2 постоянными (в данном примере — постоянными Ламэ
и
):
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda +2\mu &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda +2\mu &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &\lambda +2\mu &0&0&0\\0&0&0&\mu &0&0\\0&0&0&0&\mu &0\\0&0&0&0&0&\mu \\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1d1cf9315981928bb66edb6f8eabcda41ed1a3c)
Тензор упругости материала с гексагональной симметрией: тело, обладающее гексагональной симметрией, характеризуется наличием оси симметрии (в данном случае
), при повороте вокруг которой свойства не меняются; описывается 5 независимыми упругими постоянными:
.
Единичной матрице соответствует единичный «симметризующий» тензор
:
![{\displaystyle I_{ijkl}={\frac {1}{2}}(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92db7662a49ee2e606f714f2b3d2634d4cd02969)
- ↑ Фильтры на поверхностных акустических волнах (расчёт, технология и применение) = Surface wave filters: design, constructin, and use / Под ред. В. Б. Акпамбетова. — М.: Радио и связь, 1981. — С. 11. — 472 с. — 5000 экз.
- ↑ Witold Novacky. Teoria Sprezystosci (неопр.). Panstowe Wydawnitctwo Naukowe (1970). Дата обращения: 17 декабря 2019. Архивировано 17 декабря 2019 года.