Обратная функция — Википедия

Функция и обратная ей функция . Если , то

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x. Обратная функция функции обычно обозначается , иногда также используется обозначение .

Функция, имеющая обратную, называется обратимой.

Определение

[править | править код]

Функция называется обратной к функции , если выполнены следующие тождества:

  • для всех
  • для всех

Связанные определения

[править | править код]
  • Функция называется левой обратной к функции , если для всех .
  • Функция называется правой обратной к функции , если для всех [1].

Существование

[править | править код]

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение относительно . Если оно имеет более чем один корень, то функции, обратной к не существует. Таким образом, функция обратима на интервале тогда и только тогда, когда на этом интервале она взаимно-однозначна.

Для непрерывной функции выразить из уравнения возможно в том и только том случае, когда функция строго монотонна (см. теорема о неявной функции). Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её строгой монотонности. Например, является обратной функцией к на , хотя на промежутке обратная функция другая: .

Для существования обратной функции не являются необходимыми ни непрерывность, ни монотонность исходной функции. Пример: функция где функция Дирихле, разрывна и не монотонна, однако обратная для неё существует[2]:

  • Если , где то
  • Если , где фиксированные постоянные и , то
  • Если , то
Графики функции и обратной ей
Графики функции и обратной ей
  • Областью определения является множество , а областью значений — множество .
  • По построению имеем:

или

,
,

или короче

,
,

где означает композицию функций, а  — тождественные отображения на и соответственно.

  • Такое отображение , что («обратное справа»), называется сечением отображения .
  • Функция является обратной к :
.
  • Пусть  — биекция. Пусть её обратная функция. Тогда графики функций и симметричны относительно прямой .
  • Также, если у функции есть обратная ей , то графики этих функций будут симметричны относительно линии .

Теорема. Композиция любых двух обратимых функций является обратимой функцией, то есть .

Это утверждение легко запомнить так: «Пиджак надевают после рубашки, а снимают раньше».

Разложение в степенной ряд

[править | править код]

Обратная функция аналитической в некоторой окрестности точки функции может быть представлена в виде степенного ряда:

где функции задаются рекурсивной формулой:

Примечания

[править | править код]
  1. Куликов Л.Я. "Алгебра и теория чисел: Учебное пособие для педагогических институтов"
  2. Шибинский В. М. Примеры и контрпримеры в курсе математического анализа. Учебное пособие. — М.: Высшая школа, 2007. — С. 29—30. — 543 с. — ISBN 978-5-06-005774-4.