Потенциал Пёшль — Теллера — функция потенциальной энергии электростатического поля, предложенная венгерскими физиками Гертой Пёшль и Эдвардом Теллером [1] как приближение для энергии двухатомной молекулы, альтернативный потенциалу Морзе . Потенциал имеет вид
U ( x ) = ℏ 2 2 m a 2 ( ϰ ( ϰ − 1 ) sin 2 a x + λ ( λ − 1 ) cos 2 a x ) {\displaystyle U(x)={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}a^{2}\left({\frac {\varkappa (\varkappa -1)}{\sin ^{2}ax}}+{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\cos ^{2}ax}}\right)} на промежутке 0 ⩽ x ⩽ π / ( 2 a ) {\displaystyle 0\leqslant x\leqslant \pi /(2a)} , на границе которого он обращается в бесконечность. Параметры удовлетворяют условиям ϰ > 1 {\displaystyle \varkappa >1} и λ > 1 {\displaystyle \lambda >1} . Иногда потенциалом Пёшль — Теллера называют модифицированный потенциал Пёшль — Теллера .
График потенциала Пёшль — Теллера с фиксированным параметром λ = 3 {\displaystyle \lambda =3} и различными значениями ϰ {\displaystyle \varkappa } Стационарное уравнение Шрёдингера с потенциалом Пёшль — Теллера имеет вид:
− ℏ 2 2 m Ψ ″ ( x ) + ℏ 2 2 m a 2 ( ϰ ( ϰ − 1 ) sin 2 a x + λ ( λ − 1 ) cos 2 a x ) Ψ ( x ) = E Ψ ( x ) . {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}a^{2}\left({\frac {\varkappa (\varkappa -1)}{\sin ^{2}ax}}+{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\cos ^{2}ax}}\right)\Psi (x)=E\Psi (x).} Если ввести обозначение k = 2 m E / ℏ 2 {\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}} , то оно примет вид:
Ψ ″ ( x ) + ( k 2 − a 2 ϰ ( ϰ − 1 ) sin 2 a x − a 2 λ ( λ − 1 ) cos 2 a x ) Ψ ( x ) = 0. {\displaystyle \Psi ''(x)+\left(k^{2}-a^{2}{\frac {\varkappa (\varkappa -1)}{\sin ^{2}ax}}-a^{2}{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\cos ^{2}ax}}\right)\Psi (x)=0.} После замены переменных
y = sin 2 a x {\displaystyle y=\sin ^{2}ax} получим
y ( 1 − y ) Ψ ″ ( y ) + ( 1 2 − y ) Ψ ′ ( y ) + 1 4 ( k 2 a 2 − ϰ ( ϰ − 1 ) y − λ ( λ − 1 ) 1 − y ) Ψ ( y ) = 0. {\displaystyle y(1-y)\Psi ''(y)+\left({\frac {1}{2}}-y\right)\Psi '(y)+{\frac {1}{4}}\left({\frac {k^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\varkappa (\varkappa -1)}{y}}-{\frac {\lambda (\lambda -1)}{1-y}}\right)\Psi (y)=0.} Так как точки 0 и 1 являются особыми, то естественно представить решение в виде:
Ψ ( y ) = y μ ( 1 − y ) ν f ( y ) {\displaystyle \Psi (y)=y^{\mu }(1-y)^{\nu }f(y)} Если выбрать
μ = ϰ 2 , ν = λ 2 , {\displaystyle \mu ={\frac {\varkappa }{2}},\qquad \nu ={\frac {\lambda }{2}},} то уравнение приведётся к гипергеометрическому виду:
y ( 1 − y ) f ″ ( y ) + ( ( ϰ + 1 2 ) − y ( ϰ + λ + 1 ) ) f ′ ( y ) + 1 4 ( ϰ 2 a 2 + ( ϰ + λ ) 2 ) f ( y ) = 0. {\displaystyle y(1-y)f''(y)+\left(\left(\varkappa +{\frac {1}{2}}\right)-y\left(\varkappa +\lambda +1\right)\right)f'(y)+{\frac {1}{4}}\left({\frac {\varkappa ^{2}}{a^{2}}}+(\varkappa +\lambda )^{2}\right)f(y)=0.} Общее решение данного уравнения может быть выражено через гипергеометрические функции :
f ( y ) = C 1 2 F 1 ( a , b ; c ; y ) + C 2 y 1 − c 2 F 1 ( a + 1 − c , b + 1 − c ; 2 − c ; y ) , {\displaystyle f(y)=C_{1}\;_{2}F_{1}(a,b;c;y)+C_{2}y^{1-c}\;_{2}F_{1}(a+1-c,b+1-c;2-c;y),} где введены обозначения:
a = 1 2 ( ϰ + λ + k a ) , b = 1 2 ( ϰ + λ − k a ) , c = ϰ + 1 2 . {\displaystyle a={\frac {1}{2}}\left(\varkappa +\lambda +{\frac {k}{a}}\right),\quad b={\frac {1}{2}}\left(\varkappa +\lambda -{\frac {k}{a}}\right),\quad c=\varkappa +{\frac {1}{2}}.} Если учесть граничные условия :
Ψ ( 0 ) = Ψ ( 1 ) = 0 , {\displaystyle \Psi (0)=\Psi (1)=0,} то получим собственные функции
Ψ n ( x ) = C 1 sin ϰ ( a x ) cos λ ( a x ) 2 F 1 ( − n , ϰ + λ + n ; ϰ + 1 2 ; sin 2 a x ) , {\displaystyle \Psi _{n}(x)=C_{1}\sin ^{\varkappa }(ax)\cos ^{\lambda }(ax)\;_{2}F_{1}(-n,\varkappa +\lambda +n;\varkappa +{\frac {1}{2}};\sin ^{2}ax),} где константа вычисляется с учётом нормировки:
C 1 = ( ∫ 0 1 sin ϰ ( a x ) cos λ ( a x ) 2 F 1 ( − n , ϰ + λ + n ; ϰ + 1 2 ; sin 2 a x ) d x ) − 1 2 . {\displaystyle C_{1}=\left(\int \limits _{0}^{1}\sin ^{\varkappa }(ax)\cos ^{\lambda }(ax)\;_{2}F_{1}(-n,\varkappa +\lambda +n;\varkappa +{\frac {1}{2}};\sin ^{2}ax)dx\right)^{-{\frac {1}{2}}}.} Соответствующие уровни энергии равны:
E n = − ℏ 2 2 m ( ϰ + λ + 2 n ) 2 , n ∈ Z + . {\displaystyle E_{n}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(\varkappa +\lambda +2n)^{2},\quad n\in \mathbb {Z} _{+}.} ↑ G. Pöschl, E. Teller. Bemerkungen zur Quantenmechanik des anharmonischen Oszillators (нем.) // Zeitschrift für Physik. — 1933. — Bd. 83 , Nr. 3-4 . — S. 143–151 . — doi :10.1007/BF01331132 . З. Флюгге. Задачи по квантовой механике. — Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1. Одномерные без учёта спинаМногомерные без учёта спина С учётом спина