Проекция Меркатора — Википедия
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ee/Worlds_animate.gif/220px-Worlds_animate.gif)
Равноуго́льная цилиндри́ческая прое́кция Мерка́тора — одна из основных картографических проекций. Разработана Герардом Меркатором для применения в его «Атласе». «Равноугольная» в названии проекции подчёркивает то, что проекция сохраняет углы между направлениями. Все локсодромы в ней изображаются прямыми линиями. Меридианы в проекции Меркатора представляются параллельными равноотстоящими линиями. Параллели же представляют собой параллельные линии, расстояние между которыми вблизи экватора равно расстоянию между меридианами и быстро увеличивается при приближении к полюсам. Сами полюсы не могут быть изображены на проекции Меркатора (это обусловлено особенностями функции, отображающей координаты на сфере на координаты на плоскости), поэтому обычно карту в проекции Меркатора ограничивают областями до 80—85° северной и южной широты.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/Mercator_1569.png/400px-Mercator_1569.png)
Масштаб на карте в этой проекции не является постоянным, он увеличивается от экватора к полюсам (как обратный косинус широты), однако масштабы по вертикали и по горизонтали всегда равны, чем, собственно, и достигается равноугольность проекции. На картах в данной проекции всегда указывается, к какой параллели относится основной масштаб карты.
Поскольку проекция Меркатора имеет различный масштаб на разных участках, эта проекция не сохраняет площади. Если основной масштаб относится к экватору, то наибольшие искажения размеров объектов будут у полюсов. Это хорошо заметно на картах в этой проекции: на них Гренландия кажется в 2—3 раза больше Австралии и сравнима по размерам с Южной Америкой. В реальности Гренландия втрое меньше Австралии и в 8 раз меньше Южной Америки.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Tissot_mercator.png/250px-Tissot_mercator.png)
Проекция Меркатора оказалась весьма удобной для нужд мореходства, особенно в старые времена. Объясняется это тем, что траектория движения корабля, идущего под одним и тем же румбом к меридиану (то есть с неизменным положением стрелки компаса относительно шкалы) изображается прямой линией на карте в проекции Меркатора.
Математическое выражение проекции Меркатора
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5c/Mercator_grid.png/220px-Mercator_grid.png)
Для начала рассмотрим простейший вариант проекции Меркатора: проекцию сферы на цилиндр. Этот вариант не учитывает сплюснутости Земли у полюсов. Цилиндричность проекции сразу даёт нам выражение для горизонтальной координаты на карте: она просто пропорциональна долготе точки (при использовании в расчетах следует учесть, что выражаться эта величина должна в радианах):
Условие равноугольности — это просто равенство масштабов по горизонтальной и вертикальной оси. Поскольку масштаб по оси X на широте равен просто (R — радиус Земли), то из условия мы получаем выражение для зависимости y от :
(Здесь arth — обратный гиперболический тангенс).
Функция носит специальное название функции Ламберта, или ламбертиана (в честь Иоганна Ламберта) и иногда обозначается как или (см. также Интеграл от секанса).
Обратное преобразование (из линейной координаты y в широту θ) носит название функции Гудермана, или гудерманиана (в честь Кристофа Гудермана) и обозначается Обратное преобразование координаты x в долготу λ является, как и прямое преобразование, линейной функцией:
Теперь нетрудно получить выражения для равноугольной проекции с учётом эллипсоидальной формы Земли. Для этого надо записать метрическую форму для эллипсоида (a — большая полуось, b — малая полуось) в географических координатах
перейти в ней к координатам x и y и приравнять масштабы по осям. После интегрирования получаем
Здесь — эксцентриситет земного эллипсоида.
Обратное преобразование, вообще говоря, не выражается в элементарных функциях, но уравнение для обратного преобразования легко решить методом теории возмущений по малому . Итерационная формула для обратного преобразования имеет следующий вид:
- , где можно взять равным 0 или приближению, рассчитанному по формуле для сфероида.