Пространство состояний — в теории управления один из основных методов описания поведения динамической системы. Движение системы в пространстве состояний отражает изменение её состояний .
Пространство состояний обычно называют фазовым пространством динамической системы , а траекторию движения изображающей точки в этом пространстве — фазовой траекторией .[ B: 1] [ B: 2] [ A: 1]
В пространстве состояний создаётся модель динамической системы , включающая набор переменных входа, выхода и состояния , связанных между собой дифференциальными уравнениями первого порядка, которые записываются в матричной форме. В отличие от описания в виде передаточной функции и других методов частотной области, пространство состояний позволяет работать не только с линейными системами и нулевыми начальными условиями. Кроме того, в пространстве состояний относительно просто работать с MIMO -системами.
Структурная схема непрерывной линейной системы, описанной в виде переменных состояния Для случая линейной системы с p {\displaystyle p} входами, q {\displaystyle q} выходами и n {\displaystyle n} переменными состояния описание имеет вид:
x ˙ ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)} y ( t ) = C ( t ) x ( t ) + D ( t ) u ( t ) {\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t)} где
x ( t ) ∈ R n {\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n}} ; y ( t ) ∈ R q {\displaystyle y(t)\in \mathbb {R} ^{q}} ; u ( t ) ∈ R p {\displaystyle u(t)\in \mathbb {R} ^{p}} ; dim [ A ( ⋅ ) ] = n × n {\displaystyle \operatorname {dim} [A(\cdot )]=n\times n} , dim [ B ( ⋅ ) ] = n × p {\displaystyle \operatorname {dim} [B(\cdot )]=n\times p} , dim [ C ( ⋅ ) ] = q × n {\displaystyle \operatorname {dim} [C(\cdot )]=q\times n} , dim [ D ( ⋅ ) ] = q × p {\displaystyle \operatorname {dim} [D(\cdot )]=q\times p} , x ˙ ( t ) := d x ( t ) d t {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t):={d\mathbf {x} (t) \over dt}} : x ( ⋅ ) {\displaystyle x(\cdot )} — вектор состояния , элементы которого называются состояниями системы y ( ⋅ ) {\displaystyle y(\cdot )} — вектор выхода , u ( ⋅ ) {\displaystyle u(\cdot )} — вектор управления , A ( ⋅ ) {\displaystyle A(\cdot )} — матрица системы , B ( ⋅ ) {\displaystyle B(\cdot )} — матрица управления , C ( ⋅ ) {\displaystyle C(\cdot )} — матрица выхода, D ( ⋅ ) {\displaystyle D(\cdot )} — матрица прямой связи . Часто матрица D ( ⋅ ) {\displaystyle D(\cdot )} является нулевой, это означает, что в системе нет явной прямой связи .
Для дискретных систем запись уравнений в пространстве основывается не на дифференциальных , а на разностных уравнениях:
x ( n T + T ) = A ( n T ) x ( n T ) + B ( n T ) u ( n T ) {\displaystyle \mathbf {x} (nT+T)=A(nT)\mathbf {x} (nT)+B(nT)\mathbf {u} (nT)} y ( n T ) = C ( n T ) x ( n T ) + D ( n T ) u ( n T ) {\displaystyle \mathbf {y} (nT)=C(nT)\mathbf {x} (nT)+D(nT)\mathbf {u} (nT)} Нелинейная динамическая система n-го порядка может быть описана в виде системы из n уравнений 1-го порядка:
x ˙ 1 = f 1 ( x 1 ( t ) ; … , x n ( t ) , u 1 ( t ) , … , u m ( t ) ) {\displaystyle {\dot {x}}_{1}=f_{1}(x_{1}(t);\ldots ,x_{n}(t),u_{1}(t),\ldots ,u_{m}(t))} ⋮ {\displaystyle \vdots } x ˙ n = f n ( x 1 ( t ) ; … , x n ( t ) , u 1 ( t ) , … , u m ( t ) ) {\displaystyle {\dot {x}}_{n}=f_{n}(x_{1}(t);\ldots ,x_{n}(t),u_{1}(t),\ldots ,u_{m}(t))} или в более компактной форме:
x ˙ ( t ) = f ( t , x ( t ) , u ( t ) ) {\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t))} y ( t ) = h ( t , x ( t ) , u ( t ) ) {\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {h} (t,\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t))} . Первое уравнение — это уравнение состояния , второе — уравнение выхода .
В некоторых случаях возможна линеаризация описания динамической системы для окрестности рабочей точки ( x ~ , u ~ ) {\displaystyle (\mathbf {\tilde {x}} ,\mathbf {\tilde {u}} )} . В установившемся режиме ( u ~ = c o n s t ) {\displaystyle (\mathbf {\tilde {u}} =const)} для рабочей точки x ~ = c o n s t , {\displaystyle \mathbf {\tilde {x}} =const,} справедливо следующее выражение:
x ˙ = f ( x ~ , u ~ ) = 0 {\displaystyle \mathbf {\dot {x}} =\mathbf {f} (\mathbf {\tilde {x}} ,\mathbf {\tilde {u}} )=\mathbf {0} } Вводя обозначения:
δ u = u − u ~ {\displaystyle \delta \mathbf {u} =\mathbf {u} -\mathbf {\tilde {u}} } δ x = x − x ~ {\displaystyle \delta \mathbf {x} =\mathbf {x} -\mathbf {\tilde {x}} } Разложение уравнения состояния f ( x ( t ) , u ( t ) ) {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t))} в ряд Тейлора , ограниченное первыми двумя членами даёт следующее выражение:
f ( x ( t ) , u ( t ) ) ≈ f ( x ~ ( t ) , u ~ ( t ) ) + δ f δ x δ x + δ f δ u δ u {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t))\approx \mathbf {f} (\mathbf {\tilde {x}} (t),\mathbf {\tilde {u}} (t))+{\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {x} }}\delta \mathbf {x} +{\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {u} }}\delta \mathbf {u} } При взятии частных производных вектор-функции f {\displaystyle \mathbf {f} } по вектору переменных состояний x {\displaystyle \mathbf {x} } и вектору входных воздействий u {\displaystyle \mathbf {u} } получаются матрицы Якоби соответствующих систем функций:
δ f δ x = [ δ f 1 δ x 1 ⋯ δ f 1 δ x n ⋮ ⋱ ⋮ δ f n δ x 1 ⋯ δ f n δ x n ] δ f δ u = [ δ f 1 δ u 1 ⋯ δ f 1 δ u p ⋮ ⋱ ⋮ δ f n δ u 1 ⋯ δ f n δ u p ] {\displaystyle {\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {x} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {x_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\delta \mathbf {f_{n}} }{\delta \mathbf {x_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{n}} }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\end{bmatrix}}\quad {\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {u} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {u_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {u_{p}} }}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\delta \mathbf {f_{n}} }{\delta \mathbf {u_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{n}} }{\delta \mathbf {u_{p}} }}\end{bmatrix}}} . Аналогично для функции выхода:
δ h δ x = [ δ h 1 δ x 1 ⋯ δ h 1 δ x n ⋮ ⋱ ⋮ δ h q δ x 1 ⋯ δ h q δ x n ] δ h δ u = [ δ h 1 δ u 1 ⋯ δ h 1 δ u p ⋮ ⋱ ⋮ δ h q δ u 1 ⋯ δ h q δ u p ] {\displaystyle {\frac {\delta \mathbf {h} }{\delta \mathbf {x} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {x_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\delta \mathbf {h_{q}} }{\delta \mathbf {x_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{q}} }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\end{bmatrix}}\quad {\frac {\delta \mathbf {h} }{\delta \mathbf {u} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {u_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {u_{p}} }}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\delta \mathbf {h_{q}} }{\delta \mathbf {u_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{q}} }{\delta \mathbf {u_{p}} }}\end{bmatrix}}} Учитывая δ x ˙ = x ˙ − x ~ ˙ = x ˙ {\displaystyle \delta \mathbf {\dot {x}} =\mathbf {\dot {x}} -\mathbf {\dot {\tilde {x}}} =\mathbf {\dot {x}} } , линеаризованное описание динамической системы в окрестности рабочей точки примет вид:
x ˙ {\displaystyle \mathbf {\dot {x}} } = A δ x + B δ u {\displaystyle =\mathbf {A} \delta \mathbf {x} +\mathbf {B} \delta \mathbf {u} } δ y {\displaystyle \delta \mathbf {y} } = C δ x + D δ u {\displaystyle =\mathbf {C} \delta \mathbf {x} +\mathbf {D} \delta \mathbf {u} }
где
A = δ f δ x B = δ f δ u C = δ h δ x D = δ h δ u {\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {x} }}\quad \mathbf {B} ={\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {u} }}\quad \mathbf {C} ={\frac {\delta \mathbf {h} }{\delta \mathbf {x} }}\quad \mathbf {D} ={\frac {\delta \mathbf {h} }{\delta \mathbf {u} }}} . Маятник является классической свободной нелинейной системой . Математически движение маятника описывается следующим соотношением:
m l θ ¨ ( t ) = − m g sin θ ( t ) − k l θ ˙ ( t ) {\displaystyle ml{\ddot {\theta }}(t)=-mg\sin \theta (t)-kl{\dot {\theta }}(t)} где
θ ( t ) {\displaystyle \theta (t)} — угол отклонения маятника. m {\displaystyle m} — приведённая масса маятника g {\displaystyle g} — ускорение свободного падения k {\displaystyle k} — коэффициент трения в подшипнике подвеса l {\displaystyle l} — длина подвеса маятника В таком случае уравнения в пространстве состояний будут иметь вид:
x 1 ˙ ( t ) = x 2 ( t ) {\displaystyle {\dot {x_{1}}}(t)=x_{2}(t)} x 2 ˙ ( t ) = − g l sin x 1 ( t ) − k m x 2 ( t ) {\displaystyle {\dot {x_{2}}}(t)=-{\frac {g}{l}}\sin {x_{1}}(t)-{\frac {k}{m}}{x_{2}}(t)} где
x 1 ( t ) := θ ( t ) {\displaystyle x_{1}(t):=\theta (t)} — угол отклонения маятника x 2 ( t ) := x 1 ˙ ( t ) {\displaystyle x_{2}(t):={\dot {x_{1}}}(t)} — угловая скорость маятника x 2 ˙ ( t ) := x 1 ¨ ( t ) {\displaystyle {\dot {x_{2}}}(t):={\ddot {x_{1}}}(t)} — угловое ускорение маятника Запись уравнений состояния в общем виде:
x ˙ ( t ) = ( x 1 ˙ ( t ) x 2 ˙ ( t ) ) = f ( t , x ( t ) ) = ( x 2 ( t ) − g l sin x 1 ( t ) − k m x 2 ( t ) ) {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left({\begin{matrix}{\dot {x_{1}}}(t)\\{\dot {x_{2}}}(t)\end{matrix}}\right)=\mathbf {f} (t,x(t))=\left({\begin{matrix}x_{2}(t)\\-{\frac {g}{l}}\sin {x_{1}}(t)-{\frac {k}{m}}{x_{2}}(t)\end{matrix}}\right)} . Линеаризованная матрица системы для модели маятника в окрестности точки равновесия ( x ~ 1 = 0 ) {\displaystyle \left({\tilde {x}}_{1}=0\right)} имеет вид:
δ f δ x = ( 0 1 − g l cos x ~ 1 − k m ) = ( 0 1 − g l − k m ) {\displaystyle {\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {x} }}=\left({\begin{matrix}0&\ 1\\-{\frac {g}{l}}\cos {{\tilde {x}}_{1}}&\ -{\frac {k}{m}}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0&\ 1\\-{\frac {g}{l}}&\ -{\frac {k}{m}}\end{matrix}}\right)} При отсутствии трения в подвесе (k = 0 ) получим уравнение движения математического маятника :
x ¨ = − g l x {\displaystyle {\ddot {x}}=-{\frac {g}{l}}x} ↑ Андронов А. А. , Леонтович Е. А. , Гордон И. М. , Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. — М. : Наука, 1967. ↑ Андронов А. А. , Витт А. А. , Хайкин С. Э. Теория колебаний. — 2-е изд., перераб. и испр.. — М. : Наука, 1981. — 918 с.