Треугольник Паскаля — Википедия

Треугольник Паскаля (арифметический треугольник) — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. В большей части западного мира она названа в честь французского математика Блеза Паскаля, хотя за многие столетия до него её изучали и другие математики в исламском мире^[1], Индии^[2], Китае, Германии и Италии^[3]. Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел^[4].

Схема чисел, образующих треугольник Паскаля, была известна задолго до времен Паскаля. Персидский математик Аль-Караджи (953–1029) написал ныне утерянную книгу, содержащую первую формулировку биномиальных коэффициентов и первое в истории описание треугольника Паскаля^[5][6][7]. Позднее треугольник также исследовался Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма (مثلث خیام). Упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием meru-prastaara встречается также в комментарии индийского математика X века Халаюдхи^[англ.] к трудам другого математика, Пингалы.^{[источник?]} В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй, поэтому в Китае его называют треугольником Яна Хуэя (杨辉三角; 楊輝三角).

В Италии треугольник Паскаля иногда называют треугольником Тартальи, поскольку Никколо Тарталья описал эту таблицу на сто лет раньше Паскаля. На титульном листе учебника арифметики, написанного в 1529 году Петером Апианом, астрономом из Ингольштадтского университета (нем.), также изображён треугольник Паскаля. А в 1665 году^[8] вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике»^[9], которая была специально посвящена данной таблице и по содержательности опережала своих европейских предшественников. Позднее треугольник был назван в честь Паскаля Пьером Раймоном де Монмором (1708), который назвал его table de M. Pascal pour les combinaisons (с французского: Таблица сочетаний господина Паскаля), и Абрахамом де Муавром (1730), который назвал его Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM (с латинского: Арифметический треугольник Паскаля), что стало основой современного западного названия^[10].

Биномиальные коэффициенты часто обозначаются ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$ или ${\displaystyle C_{n}^{k}}$ и читаются как «число сочетаний из n элементов по k»^[4].

• Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.
• В строке с номером n (нумерация начинается с 0):
  • первое и последнее числа равны 1;
  • второе и предпоследнее числа равны n;
  • третье число равно треугольному числу ${\displaystyle T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}}$, что также равно сумме номеров предшествующих строк;
  • четвёртое число является тетраэдрическим;
  • m-е число (при нумерации с 0) равно биномиальному коэффициенту ${\displaystyle C_{n}^{m}={\binom {n}{m}}={\frac {n!}{m!(n-m)!}}}$.
• Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n − 1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи:

  ${\displaystyle {\binom {n-1}{0}}+{\binom {n-2}{1}}+{\binom {n-3}{2}}+\ldots =F_{n}.}$

• Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.
• Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна ${\displaystyle 2^{n}}$.
• Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n тогда и только тогда, когда n является простым числом^[11] (следствие теоремы Люка).
• Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n + 1, 3n + 2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше.
• Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.

• Треугольник Серпинского
• Гипотеза Сингмастера
• Треугольник Хосойя

• Паскаля треугольник // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 230-232. — 352 с.
• Фукс Д., Фукс М. Арифметика биномиальных коэффициентов // Квант. — 1970. — № 6. — С. 17—25.
• Успенский В. А. Треугольник Паскаля. — М.: Наука, 1979. — 48 с. — (Популярные лекции по математике). — 200 000 экз.

• Weisstein, Eric W. Pascal's Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Построение треугольника Паскаля