Факторпространство по подпространству в линейной алгебре — факторпространство, определяемое для векторного пространства
по его подпространству
как пространство над фактормножеством
по отношению эквивалентности
. Обозначение —
.
Отображение
, сопоставляющее каждому элементу из
класс эквивалентности, в котором он лежит, называется факторотображением.
Факторотображение даёт возможность определить на
векторную структуру, задав операции
следующим образом:
![{\displaystyle x_{1}+x_{2}=\varphi (\varphi ^{-1}(x_{1})+\varphi ^{-1}(x_{2}))\qquad \forall x_{1},\;x_{2}\in X/X_{0};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85137146f069e73fdfd8eda8ea8d1b2f9deed04d)
![{\displaystyle \lambda x=\varphi (\lambda \varphi ^{-1}(x))\qquad \forall x\in X/X_{0},\;\lambda \in \mathbb {F} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d0aa2fc41c3987af7dfe018217fd3842c927ac3)
Факторотображение на таком пространстве линейно.
Свойства факторотображения:
![{\displaystyle \varphi \in {\mathcal {L}}(X,\;X/X_{0});}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8abe6aec2740f7929548e959ef4235abd1455564)
, то есть
— эпиморфизм;
, что эквивалентно
.
Понятие факторпространства по подпространству позволяет определить:
- кообраз линейного отображения
; - коядро линейного отображения
, при условии что
. - коразмерность
; - Фактор-полунорма в факторпространстве, порождённая полунормой
.
- Существование снижения на кообраз:
![{\displaystyle \forall T\in {\mathcal {L}}(X,\;Y)\,\exists {!}\,T_{c}\in {\mathcal {L}}(\mathrm {coim} \,T,\;Y)\colon T=T_{c}\varphi ,\;\ker T_{c}=\{0\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c37d3cf15a13469d4b2848d5050b5503936767f0)
![{\displaystyle \mathrm {coim} \,T\simeq \mathrm {im} \,T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/772789fb5e8a10999295406351f3c38376125dbb)
![{\displaystyle X_{0},\,X_{1}\in \mathrm {Lat} (X):X=X_{0}\oplus X_{1}\Rightarrow X/X_{0}\simeq X_{1};\,X/X_{1}\simeq X_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86b4f086513c2afb0eb8c5a3db6d74e198640a4d)
![{\displaystyle \varphi \in {\mathcal {B}}(X,\;X/X_{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dac24ff413dc49c4e4ebe08ea4716f9d53813d5b)
![{\displaystyle \varphi ^{-1}(\ker p_{X/X_{0}})=\mathrm {cl} \,X_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd66c5821b40672ecb0f3b431dd6362ce9bf187b)
— хаусдорфово
.
- Хаусдорфовость полунормированного пространства, как известно, позволяет[уточнить] определить на нём норму, а по норме и метрику.
- Признак полноты
— полны
— полно.
— гиперплоскость
. - Неравенства для подчинённой фактор-полунормы:
![{\displaystyle \forall w\in X/X_{0},\;\forall x\in \varphi ^{-1}(w)\;p_{X/X_{0}}(w)\leqslant p(x);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da231b4da8536c3882b4e8c548a7edb982a2a7d)
![{\displaystyle \forall w\in X/X_{0},\;\forall \varepsilon >0\;\exists x\in \varphi ^{-1}(w)\colon p(x)\leqslant (1+\varepsilon )p_{X/X_{0}}(w).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c317beb2ecc7650d4143858d27b47923c50c9f9)
- Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа. — 3-е изд. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 200. — 336 с. — ISBN 5-86134-074-9..