Число обусловленности — Википедия
В области численного анализа число обусловленности функции по отношению к аргументу измеряет, насколько может измениться значение функции при небольшом изменении аргумента. Данный параметр отражает, насколько чувствительна функция к изменениям или ошибкам на входе и насколько ошибка на выходе является результатом ошибки на входе. Очень часто решается обратная задача — зная , найти , для которой должно использоваться число обусловленности (локальной) обратной задачи. В линейной регрессии число обусловленности может использоваться в качестве диагностики для мультиколлинеарности.[1][2]
Число обусловленности является приложением производной и формально определяется как значение асимптотического относительного изменения наихудшего случая на выходе для относительного изменения на входе.
- при малых [уточнить]
где — норма или метрика соответственно в пространстве аргументов или значений.[уточнить]
Число обусловленности часто применяется к вопросам линейной алгебры, и в этом случае производная прямолинейна, но ошибка может быть во многих разных направлениях и, таким образом, вычисляется из геометрии матрицы. В более общем смысле число обусловленности может быть определено для нелинейных функций от нескольких переменных.
Говорят, что проблема с низким числом обусловленности является хорошо обусловленной, в то время как проблема с большим числом обусловленности считается плохо обусловленной. Число обусловленности является свойством проблемы. Вместе с проблемой можно использовать любое количество алгоритмов, которые можно использовать для решения проблемы, то есть для вычисления решения. Некоторые алгоритмы имеют свойство, называемое обратной устойчивостью. В целом, можно ожидать, что обратно устойчивый алгоритм стабильно решит хорошо обусловленные проблемы. В учебниках по численному анализу приведены формулы для чисел обусловленности задач и определены известные обратно устойчивые алгоритмы.
Как правило, если число обусловленности , то вы можете потерять до k цифр точности сверх того, что будет потеряно для числового значения из-за потери точности из арифметических методов. [3] Однако число обусловленности не дает точного значения максимальной погрешности, которая может возникнуть в алгоритме. Обычно это просто ограничивает его оценкой (чье вычисленное значение зависит от выбора нормы для измерения погрешности).
Число обусловленности для линейных уравнений
[править | править код]Пусть задан ограниченный обратимый линейный оператор .
Рассмотрим линейное уравнение
- ,
где — линейный оператор, — вектор, — искомый вектор (переменная уравнения). Допустим, уравнение решается с погрешностью на входных данных . Отношение относительных ошибок аргумента и решения равно
Тогда число обусловленности характеризует, насколько велика будет погрешность решения при произвольных ненулевых и .
Такое же определение дается для любой операторной нормы (то есть определение зависит от выбора нормы):
- .
Если оператор не ограничен, то числом обусловленности оператора обычно считают .
С числом обусловленности связано множество утверждений и оценок теории вычислительной математики.
Если число обусловленности оператора мало́, то оператор называется хорошо обусловленным. Если же число обусловленности велико, то оператор называется плохо обусловленным. Таким образом, чем меньше , тем «лучше», то есть тем меньше погрешности решения будут относительно погрешностей в условии. Учитывая, что , то наилучшим числом обусловленности является 1.
Пример
[править | править код]Дана система двух линейных уравнений:
Решением является пара чисел
«Возмутим» правую часть первого уравнения на 0,01 (вместо 11 напишем 11,01) и получим новую, «возмущённую» систему, решением которой является пара чисел , сильно отличающаяся от решения невозмущённой системы. Здесь изменение значения одного параметра меньше чем на привело к относительно сильному возмущению решения.
Некоторые теоремы, связанные с числом обусловленности
[править | править код]Оценка относительной погрешности при замене уравнения близким
[править | править код]Рассмотрим два линейных уравнения:
- — «основное» уравнение.
- — «близкое» к нему.
Пусть — линейный ограниченный обратимый оператор, действующий из полного пространства .
Пусть операторы также ограничены, и .
Пусть — решение уравнения (1), — решение уравнения (2).
- Тогда
Примечания
[править | править код]- ↑ Belsley, David A.; Kuh, Edwin[англ.]; Welsch, Roy E. The Condition Number // Regression Diagnostics: Identifying Influential Data and Sources of Collinearity (англ.). — New York: John Wiley & Sons, 1980. — P. 100—104. — ISBN 0-471-05856-4.
- ↑ Pesaran, M. Hashem[англ.]. The Multicollinearity Problem // Time Series and Panel Data Econometrics (англ.). — New York: Oxford University Press, 2015. — P. 67—72 [p. 70]. — ISBN 978-0-19-875998-0.
- ↑ Cheney; Kincaid. Numerical Mathematics and Computing (неопр.). — 2007. — ISBN 978-0-495-11475-8.
Для улучшения этой статьи по математике желательно:
|