Delarantalet (alternativt antal delare) för ett positivt heltal n, är antalet positiva delare till talet, inklusive 1 och n självt, och betecknas ofta d(n).
- Talet 28 är delbart med 1, 2, 4, 7, 14 och 28, så d(28) = 6.
- Talet 7 är delbart med 1 och 7, så d(7) = 2.
- Talet 12 är delbart med 1, 2, 3, 4, 6 och 12, så d(12) = 6.
Om primtalsfaktoriseringen av n är
![{\displaystyle n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{a_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/838611821c9b7161f6f5db4db73a4058a51d757b)
är delarantalet av n
![{\displaystyle d(n)=\prod _{i=1}^{r}(a_{i}+1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdc0ed0f47379445605dc463078c8488f5edf4bb)
Roger Heath-Brown bevisade 1984 att det finns oändligt många n så att
![{\displaystyle d(n)=d(n+1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5bf4b3770b8ca8902f85dd9c55feedb50f36066)
För alla
är
![{\displaystyle d(n)=o(n^{\epsilon }).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/848c61400c343838cbf34106faa185473409d24b)
Severin Wigert har bevisat att
![{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\log d(n)}{\log n/\log \log n}}=\log 2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f593786269b941e10e27351767203fedf851692)
Å andra sidan, eftersom det finns oändligt många primtal, är
![{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }d(n)=2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a5b1fa49c83faf74b736752a7c2d25640551ebd)
Peter Gustav Lejeune Dirichlet bevisade att delarfunktionen satisfierar
![{\displaystyle {\mbox{for all }}x\geq 1,\sum _{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5caccb6df6181bac3427d32c7e7f9ea8fe0b9fe)
där
är Eulers konstant. Att förbättra feltermen
i formeln är känt som Dirichlets delarproblem.
Några dirichletserier vars koefficienter är d(n) eller relaterade funktioner är
![{\displaystyle \zeta ^{2}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f8bf63179de9959756e7a9640bc406e4730a1bd)
![{\displaystyle {\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n^{2})}{n^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc0edae629d080670dd429fbad7cfada42eff8ea)
![{\displaystyle {\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d4665a3787c433575d34a079a4cc06ff80aa67)
![{\displaystyle 2^{\omega (n)}\leq d(n)\leq 2^{\Omega (n)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ef2bfa38e261c915ee097a10ab05d00d2d130d1)