Bileşke fonksiyon, matematikte bir işlevdir.
,
kümesinden
kümesine giden bir fonksiyonsa,
de
kümesinden
kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman
fonksiyonunu her
için,
![{\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8a73f8d834a602ee506ac323b8a36ce17ac2b9c)
kuralıyla tanımlanan
kümesinden
kümesine giden fonksiyon olarak tanımlanır. Bu fonksiyona
ve
fonksiyonlarının bileşkesi adı verilir.
Başka bir deyişle, bileşke
ve ![{\displaystyle g:Y\longrightarrow Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88f12f9c681312822e0e68d77b413ffb1e0f76af)
fonksiyonlarından
![{\displaystyle g\circ f:X\longrightarrow Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ddab398428573dd9b76ae6e99a12c049a5765ef)
fonksiyonunu üretir.
ve
fonksiyonlarının (bu sırayla) bileşkesini alabilmek için
fonksiyonunun değer kümesi,
fonksiyonunun tanım kümesine eşit olmalıdır.
Eğer
,
kümesinden
kümesine,
de
kümesinden
kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman hem
fonksiyonundan hem de
fonksiyonundan söz edilebilir.
Bileşke,
'ten
'e giden fonksiyonlar kümesi olan Fonk
kümesi üzerine bir ikili işlemdir. Özdeşlik fonksiyonu Id
, bu ikili işlemin sağdan ve soldan etkisiz elemanıdır. Ayrıca, Fonk
kümesinin bileşke işlemi için tersinir elemanları eşlemeler, yani bijeksiyonlardır.
(gerçek sayılar kümesi) olsun.
fonksiyonu
ve
fonksiyonu
olarak tanımlansın. O zaman,
![{\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+1)=(x+1)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa75ce09c89c195ddb881a578a61913e88313b56)
dir. Ancak
![{\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^{2})=x^{2}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b36840af99139ac4ceaa7887610576686f48a9c3)
dir. Demek ki
,
yani bileşkenin değişme özelliği yoktur. Öte yandan bileşkenin birleşme özelliği vardır.
dört küme olsun.
,
,
![{\displaystyle h:Z\longrightarrow T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d53fe95b9c271139d03c4343af740511041e36ee)
üç fonksiyon olsun. O zaman şu fonksiyonlardan söz edilebilir:
,
,
,
.
Bu fonksiyonlardan ikincisi ve dördüncüsü birbirine eşittir, yani
![{\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae58809efb94aa5c6610f70fdaca836662c87e30)
eşitliği geçerlidir.
kümesinden herhangi bir
elemanı alınır ve her iki fonksiyon da bu
elemanında değerlendirilirse
![{\displaystyle ((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x)))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/655dc2faaf2f2d13c857ec4185742d25ef295ba4)
ve
![{\displaystyle (h\circ (g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x))=h(g(f(x))).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ddb0b02c74cd728bdac246c697a303894988dd7)
eşitliklerine ulaşılır.
Her iki eşitliğin sağ tarafları eşit olduğundan sol tarafları da eşittir, yani
.
Bundan da fonksiyonların eşit olduğu, yani
eşitliği çıkar.
|
---|
Kümeler kuramına göre | |
---|
İşleme göre | |
---|
Topolojiye göre | |
---|
Sıralamaya göre | |
---|
Gerçel/Karmaşık sayılara göre | |
---|