Інтегральний логарифм — спеціальна функція , що визначається для дійсних x ≠ 1 , {\displaystyle x\neq 1,} рівністю:
l i ( x ) = ∫ 0 x d t ln t . {\displaystyle {\rm {li}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.\;} при x > 1 підінтегральна функція має в точці t=1 нескінченний розрив і інтегральний логарифм розуміється в сенсі головного значення:
l i ( x ) = lim ε → 0 + ( ∫ 0 1 − ε d t ln t + ∫ 1 + ε x d t ln t ) . {\displaystyle {\rm {li}}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln t}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\right).\;} Інтегральний логарифм Також для усунення сингулярності в точці 1 іноді визначається зсунутий інтегральний логарифм :
L i ( x ) = ∫ 2 x d t ln t . {\displaystyle \mathrm {Li} \,(x)=\int \limits _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.} Між двома функціями справедлива рівність:
L i ( x ) − l i ( x ) = l i ( 2 ) ≈ 1,045 163 780 117 492 … {\displaystyle \mathrm {Li} \,(x)-\mathrm {li} \,(x)=\mathrm {li} \,(2)\approx 1{,}045~163~780~117~492\ldots } l i ( x ) ≈ x ln ( 1 / x ) {\displaystyle {\rm {li}}(x)\approx {\frac {x}{\ln(1/x)}}} Ei(x) співвідношеннями:
li ( x ) = Ei ( ln x ) , {\displaystyle {\hbox{li}}(x)={\hbox{Ei}}(\ln x),\,\!} Інтегральний логарифм подається у вигляді ряду l i ( x ) = E i ( ln x ) = γ + ln ln x + ∑ n = 1 ∞ ( ln x ) n n ⋅ n ! , {\displaystyle \mathrm {li} \,(x)=\mathrm {Ei} \,(\ln x)=\gamma +\ln \ln x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{n}}{n\cdot n!}},} де γ ≈ 0,577 215 664 901 532 … {\displaystyle \gamma \approx 0{,}577~215~664~901~532\ldots } — стала Ейлера ; l i ( x ) = γ + ln ln x + x ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 ( ln x ) n 2 n − 1 n ! ∑ k = 0 ⌊ ( n − 1 ) / 2 ⌋ 1 2 k + 1 . {\displaystyle \mathrm {li} \,(x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{2^{n-1}n!}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}.} Інтегральний логарифм має єдиний нуль в точці μ ≈ 1,451 369 234 883 381 050 283 968 485 892 027 449 493 … {\displaystyle \mu \approx 1{,}451~369~234~883~381~050~283~968~485~892~027~449~493\ldots } — стала Рамануджана — Солднера Як функція комплексної змінної z інтегральний логарифм можна визначити:
l i ( x ) = E i ( ln x ) = γ + ln ( − ln z ) + ∑ n = 1 ∞ ( ln z ) n n ⋅ n ! , {\displaystyle \mathrm {li} \,(x)=\mathrm {Ei} \,(\ln x)=\gamma +\ln(-\ln z)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\ln z)^{n}}{n\cdot n!}},} Інтегральний логарифм тоді буде однозначною аналітичною функцією в комплексній площині z з розрізами уздовж дійсної осі від - ∞ {\displaystyle \infty } до 0 і від 1 до ∞ {\displaystyle \infty } (уявні частини логарифмів беруться при цьому в межах від - π {\displaystyle \pi } до π {\displaystyle \pi } ).
Інтегральний логарифм відіграє важливу роль у теорії чисел . Зокрема, згідно з теоремою про розподіл простих чисел :
π ( x ) ∼ li ( x ) ∼ Li ( x ) , {\displaystyle \pi (x)\sim {\hbox{li}}(x)\sim {\hbox{Li}}(x),\,} де π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} — кількість простих чисел менших або рівних x .