Векторна міра — адитивна функція множин, визначена на кільці множин зі значеннями в нормованому просторі . Є узагальненням понять міри , заряду і комплексної міри . Для векторних мір, як і для мір, визначено поняття інтегралу.
Якщо F {\displaystyle {\mathcal {F}}} є алгеброю множин, а E {\displaystyle E} - нормованим простором, то функція ν : F → E , {\displaystyle \nu \colon {\mathcal {F}}\to E,} , що задовольняє умову
ν ( A ∪ B ) = ν ( A ) + ν ( B ) {\displaystyle \nu (A\cup B)=\nu (A)+\nu (B)} для всіх множин A , B ∈ F , {\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}},} що мають порожній перетин називається векторною мірою
Якщо M {\displaystyle {\mathfrak {M}}} є σ-алгеброю то функція ν : M → E {\displaystyle \nu \colon {\mathfrak {M}}\to E} називається зліченно адитивною (σ-адитивною) векторною мірою , якщо для кожної послідовності ( A n ) n ∈ N {\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }} множин із M {\displaystyle {\mathfrak {M}}} , що попарно не перетинається:
ν ( ⋃ n = 1 ∞ A n ) = ∑ n = 1 ∞ ν ( A n ) {\displaystyle \nu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\nu (A_{n})} Нехай ν : F → E {\displaystyle \nu \colon {\mathcal {F}}\to E} є векторною мірою, а Π ⊂ F {\displaystyle \Pi \subset {\mathcal {F}}} позначає різні скінченні підмножини із F {\displaystyle {\mathcal {F}}} і для кожної Π {\displaystyle \Pi } її елементи попарно не перетинаються і ⋃ P ∈ Π = A . {\textstyle \bigcup _{P\in \Pi }=A.} Функція | ν | : F → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle |\nu |\colon {\mathcal {F}}\to [0,\infty ]} задана як
| ν | ( A ) = sup { ∑ P ∈ Π ‖ ν ( P ) ‖ : Π } , {\displaystyle |\nu |(A)=\sup \left\{\sum _{P\in \Pi }\|\nu (P)\|\colon \Pi \right\},} називається варіацією векторної міри ν . {\displaystyle \nu .}
Функція ‖ ν ‖ : F → [ 0 , ∞ ] , {\displaystyle \|\nu \|\colon {\mathcal {F}}\to [0,\infty ],} задана як
‖ ν ‖ ( A ) = sup { | x ⋆ ∘ ν | ( A ) : x ⋆ ∈ E ⋆ , ‖ x ⋆ ‖ ⩽ 1 } {\displaystyle \|\nu \|(A)=\sup\{|x^{\star }\circ \nu |(A)\colon x^{\star }\in E^{\star },\|x^{\star }\|\leqslant 1\}} називається напівваріацією векторної міри ν . {\displaystyle \nu .}
Векторна міра ν {\displaystyle \nu } має скінченну варіацію якщо її на усьому просторі є скінченною.
Якщо M {\displaystyle {\mathfrak {M}}} є σ-алгеброю пімножин M , {\displaystyle M,} a ν : M → R {\displaystyle \nu \colon {\mathfrak {M}}\to \mathbb {R} } є зліченно адитивною функцією множин, до | ν | = ‖ ν ‖ = ν + + ν − , {\displaystyle |\nu |=\|\nu \|=\nu ^{+}+\nu ^{-},} де ν + , ν − , {\displaystyle \nu ^{+},\nu ^{-},} є відповідно додатною і від'ємною варіаціями. Варіація векторної міри є адитивною функцією множин. Варіація зліченно адитивної векторної міри є мірою. Напівваріація векторної міри є субадитивною та монотонною функцією множин. Якщо ν {\displaystyle \nu } є векторною мірою, то ‖ ν ‖ ⩽ | ν | . {\displaystyle \|\nu \|\leqslant |\nu |.} Векторна міра з обмеженою варіацією є зліченно адитивною тоді й лише тоді, коли її варіація є зліченно адитивною. Нехай M = σ ( F ) {\displaystyle {\mathfrak {M}}=\sigma ({\mathcal {F}})} (σ-алгебра, породжена алгеброю F {\displaystyle {\mathcal {F}}} ). Якщо ν : M → E {\displaystyle \nu \colon {\mathfrak {M}}\to E} є зліченно адитивною векторною мірою з обмеженою варіацією, то для кожного A ∈ F {\displaystyle A\in {\mathcal {F}}} виконується рівність: | ν | F | ( A ) = | ν | ( A ) . {\displaystyle |\nu |_{\mathcal {F}}|(A)=|\nu |(A).} Якщо варіація векторної міри ν {\displaystyle \nu } є скінченною мірою , то ν {\displaystyle \nu } є зліченно адитивною векторною мірою. Множина значень σ-адитивної векторної міри є обмеженою. Зліченно адитивна векторна міра. Нехай T : L ∞ [ 0 , 1 ] → X {\displaystyle T\colon L_{\infty }[0,1]\to X} є неперервним лінійним оператором . Тоді можна ввести скінченно адитивну міру значення якої lля кожної вимірної (у сенсі Лебега ) множини A ⊂ [ 0 , 1 ] {\displaystyle A\subset [0,1]} є рівним: ν ( A ) = T ( χ A ) , {\displaystyle \nu (A)=T(\chi _{A}),} де χ A {\displaystyle \chi _{A}} — характеристична функція . Також для кожного A ⊂ [ 0 , 1 ] {\displaystyle A\subset [0,1]} ‖ ν ( A ) ‖ ⩽ l ( A ) ‖ T ‖ , {\displaystyle \|\nu (A)\|\leqslant l(A)\|T\|,} де l {\displaystyle l} — міра Лебега. Тоді також ‖ ν ‖ ( A ) ⩽ l ( A ) ‖ T ‖ , {\displaystyle \|\nu \|(A)\leqslant l(A)\|T\|,} що доводить, що ν {\displaystyle \nu } є векторною мірою із скінченною варіацією. Векторна міра із скінченною напівваріацією але нескінченною варіацією. Нехай L | [ 0 , 1 ] {\displaystyle {\mathcal {L}}|_{[0,1]}} є σ-алгеброю підмножин Лебера множини [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} . Функція ν : L | [ 0 , 1 ] → L ∞ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \nu \colon {\mathcal {L}}|_{[0,1]}\to L_{\infty }[0,1]} , задана як ν ( A ) = χ A , {\displaystyle \nu (A)=\chi _{A},} для A ∈ L | [ 0 , 1 ] {\displaystyle A\in {\mathcal {L}}|_{[0,1]}} має скінченну напівваріацію але нескінченну варіацію. Векторна міра із нескінченною варіацією. Нехай F = { A ⊆ N : | A | < ℵ 0 ∨ | N ∖ A | < ℵ 0 } . {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{A\subseteq \mathbb {N} \colon |A|<\aleph _{0}\vee |\mathbb {N} \setminus A|<\aleph _{0}\}.} Функція ν : F → R {\displaystyle \nu \colon {\mathcal {F}}\to \mathbb {R} } задана як ν ( A ) = { | A | , | A | < ℵ 0 − | A | , | N ∖ A | < ℵ 0 {\displaystyle \nu (A)=\left\{{\begin{array}{ll}|A|,&|A|<\aleph _{0}\\-|A|,&|\mathbb {N} \setminus A|<\aleph _{0}\end{array}}\right.} має необмежену варіацію. Cohn, Donald L. (1997). Measure theory (вид. reprint). Boston–Basel–Stuttgart: Birkhäuser Verlag. с. IX+373. ISBN 3-7643-3003-1 . Zbl 0436.28001 . Архів оригіналу за 28 січня 2022. Процитовано 3 лютого 2022 . Diestel, Joe; Uhl, Jerry J., Jr. (1977). Vector measures . Mathematical Surveys. Т. 15. Providence, R.I: American Mathematical Society. с. xiii+322. ISBN 0-8218-1515-6 . Kluvánek, I., Knowles, G, Vector Measures and Control Systems , North-Holland Mathematics Studies 20 , Amsterdam, 1976.