Дискретне перетворення Фур'є — Вікіпедія
Дискретне перетворення Фур'є (ДПФ, англ. Discrete Fourier Transform) — це математична процедура, що використовується для визначення гармонічного, або частотного, складу дискретних сигналів. ДПФ є однією з найбільш розповсюджених і потужних процедур цифрової обробки сигналів. ДПФ дозволяє аналізувати, перетворювати і синтезувати сигнали такими способами, які неможливі при неперервній (аналоговій) обробці.
Витоком ДПФ є неперервне перетворення Фур'є , яке визначається:
Експоненціальна форма:
Тригонометрична форма:
Позначення:
- — -ий компонент ДПФ, тобто ,
- — індекс ДПФ в частотній області, ,
- — послідовність вхідних відліків, ,
- — часовий індекс вхідних відліків, ,
- — кількість відліків вхідної послідовності і кількість частотних відліків результату ДПФ.
Якщо представити довільний відлік ДПФ як суму дійсних і уявних частин:
- з кутом ,
то амплітуда обчислюється:
Фазовий кут , , обчислюється так:
Потужність відліків , яка називається спектром потужності, являє собою амплітуду, піднесену до квадрату:
- Симетрія
- Лінійність
Якщо вхідна послідовність має ДПФ , а інша вхідна послідовність має ДПФ , то ДПФ суми цих послідовностей рівна: - Зсув в часі
У цьому прикладі ДПФ застосовується до послідовності довжиною , а саме, до вхідного вектора
Обчислимо ДПФ за допомогою експоненциальної форми:
що дає
Нижче подано приклад функції обчислення ДПФ на мові програмування C#
// Структура комлексних чисел public struct Complex { public double Re; public double Im; public Complex(double Re, double Im) { this.Re = Re; this.Im = Im; } } public double Sqr(double x) { return x*x; } // x - послідовність вхідних відліків // X - послідовність вихідних відліків // AS - спектр амплітуд // FS - спектр фаз // PS - спектр потужностей // N - кількість відліків public void DFT(double[] x, ref Complex[] X, ref double[] AS, ref double[] FS, ref double[] PS, int N) { Complex S = new Complex(); Complex[] XC = new Complex[N]; int k, n; for (k = 0; k < N; k++) { S.Re = 0.0; S.Im = 0.0; for (n = 0; n < N; n++) { S.Re += x[n] * Math.Cos(2 * Math.PI * k * n / N); S.Im -= x[n] * Math.Sin(2 * Math.PI * k * n / N); } X[k].Re = S.Re; X[k].Im = S.Im; } for (k = 0; k < N; k++) { AS[k] = Math.Sqrt(Sqr(X[k].Re) + Sqr(X[k].Im)) / (N / 2); PS[k] = X[k].Re * X[k].Re + X[k].Im * X[k].Im; if (Math.Abs(X[k].Re) < 1e-5) { if (X[k].Im > 1e-5) FS[k] = 90; if (Math.Abs(X[k].Im) < 1e-5) FS[k] = 0; if ((X[k].Im < 0) && (Math.Abs(X[k].Im) > 1e-5)) FS[k] = -90; } else FS[k] = Math.Atan2(X[k].Im, X[k].Re) * 180.0 / Math.PI; } }
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
- Ричард Лайонс. Цифровая обработка сигналов. — 2-е. — Москва : Бином, 2006. — 656 с. — ISBN 5-9518-0149-4.
- Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. — 2-е. — Спб : Питер, 2006. — 751 с. — ISBN 5-318-00666-3.
- Дискретне перетворення Фур'є [Архівовано 24 червня 2012 у Wayback Machine.](рос.)
- Властивості дискретного перетворення Фур'є [Архівовано 26 серпня 2021 у Wayback Machine.](рос.)
- Реалізація дискретного перетворення Фур'є на процесорі TMS320C55x фірми Texas Instruments [Архівовано 1 травня 2013 у Wayback Machine.](укр.)
- Аналіз спектру сигналів [Архівовано 8 лютого 2015 у Wayback Machine.]