Еліптичні функції Веєрштрасса Названо на честь Карл Веєрштрасс Формула ℘ ( z ; ω 1 , ω 2 ) = 1 z 2 + ∑ n 2 + m 2 ≠ 0 ( 1 ( z + m ω 1 + n ω 2 ) 2 − 1 ( m ω 1 + n ω 2 ) 2 ) {\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n^{2}+m^{2}\neq 0}\left({\frac {1}{(z+m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}\right)} Нотація ℘ d Підтримується Вікіпроєктом Вікіпедія:Проєкт:Математика Еліптичні функції Веєрштрасса у Вікісховищі
Еліптичні функції Веєрштрасса — одні з найпростіших еліптичних функцій . Цей клас функцій названий на честь Карла Веєрштрасса . Також їх називають ℘ {\displaystyle \wp } -функціями Веєрштрасса, і використовують для їх позначення символ ℘ {\displaystyle \wp } (стилізоване P ).
Нехай задана деяка ґратка Γ {\displaystyle \Gamma } в C {\displaystyle \mathbb {C} } . Тоді ℘ {\displaystyle \wp } -функцією Веєрштрасса на ній називається мероморфна функція, задана як сума ряду
℘ E ( z ) = 1 z 2 + ∑ w ∈ Γ ∖ { 0 } ( 1 ( z − w ) 2 − 1 w 2 ) . {\displaystyle \wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{w\in \Gamma \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-w)^{2}}}-{\frac {1}{w^{2}}}\right).} Можна побачити, що така функція буде Γ {\displaystyle \Gamma } -періодичною на C {\displaystyle \mathbb {C} } , і тому є мероморфною функцією на E {\displaystyle E} .
Ряд, що задає функцію Веєрштрасса є, в певному значенні, «регуляризованою версією» розбіжного ряду, ∑ w ∈ Γ 1 ( z − w ) 2 {\displaystyle \sum _{w\in \Gamma }{\frac {1}{(z-w)^{2}}}} — «наївної» спроби задати Γ {\displaystyle \Gamma } -періодичну функцію. Цей ряд є абсолютно розбіжним (а за відсутності природного порядку на Γ {\displaystyle \Gamma } має сенс говорити тільки про абсолютну збіжність) при всіх z, оскільки при фіксованому z і при великих w модулі його членів поводяться як 1 | w | 2 {\displaystyle {\frac {1}{|w|^{2}}}} , а сума ∑ w ∈ Γ 1 | w | 2 {\displaystyle \sum _{w\in \Gamma }{\frac {1}{|w|^{2}}}} по двовимірних ґратках Γ {\displaystyle \Gamma } є розбіжною.
Задаючи ґратку Γ {\displaystyle \Gamma } її базисом Γ = { m ω 1 + n ω 2 ∣ m , n ∈ Z } {\displaystyle \Gamma =\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \}} , можна записати
℘ ( z ; ω 1 , ω 2 ) = 1 z 2 + ∑ ( m , n ) ∈ Z 2 ∖ { ( 0 , 0 ) } ( 1 ( z − m ω 1 − n ω 2 ) 2 − 1 ( m ω 1 + n ω 2 ) 2 ) . {\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}\left({\frac {1}{(z-m\omega _{1}-n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}\right).} Також, оскільки функція Веєрштрасса як функція трьох змінних однорідна ℘ ( a z ; a ω 1 , a ω 2 ) = a − 2 w p ( z ; ω 1 , ω 2 ) {\displaystyle \wp (az;a\omega _{1},a\omega _{2})=a^{-2}wp(z;\omega _{1},\omega _{2})} , позначивши τ = ω 2 / ω 1 {\displaystyle \tau =\omega _{2}/\omega _{1}} , має місце рівність:
℘ ( z ; ω 1 , ω 2 ) = ω 1 − 2 ℘ ( z / ω 1 ; 1 , τ ) . {\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=\omega _{1}^{-2}\wp (z/\omega _{1};1,\tau ).} Тому розглядають
℘ ( z ; τ ) = ℘ ( z ; 1 , τ ) = 1 z 2 + ∑ ( m , n ) ∈ Z 2 ∖ { ( 0 , 0 ) } ( 1 ( z − m − n τ ) 2 − 1 ( m + n τ ) 2 ) . {\displaystyle \wp (z;\tau )=\wp (z;1,\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}\left({\frac {1}{(z-m-n\tau )^{2}}}-{\frac {1}{(m+n\tau )^{2}}}\right).} Функція Веєрштрасса ℘ E : E ↦ C ^ {\displaystyle \wp _{E}:E\mapsto {\widehat {\mathbb {C} }}} — парна мероморфна функція, з єдиним полюсом другого порядку в точці 0. Скориставшись розкладом 1 ( w − z ) 2 = 1 w 2 + ∑ j = 1 ∞ j + 1 w j + 2 z j {\displaystyle {\frac {1}{(w-z)^{2}}}={\frac {1}{w^{2}}}+\sum \nolimits _{j=1}^{\infty }{\frac {j+1}{w^{j+2}}}z^{j}} і посумувавши по w ∈ Γ ∖ { 0 } {\displaystyle w\in \Gamma \setminus \{0\}} , можна одержати розклад в точці z = 0 {\displaystyle z=0} функції Веєрштрасса в ряд Лорана : ℘ E ( z ) = 1 z 2 + ∑ k = 2 ∞ ( 2 k + 1 ) G 2 k ( Γ ) z 2 k − 2 , {\displaystyle \wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=2}^{\infty }(2k+1)G_{2k}(\Gamma )z^{2k-2},} де G 2 k ( Γ ) = ∑ w ∈ Γ ∖ { 0 } w − 2 k {\displaystyle G_{2k}(\Gamma )=\sum _{w\in \Gamma \setminus \{0\}}w^{-2k}} — ряди Ейзенштейна для ґратки Γ {\displaystyle \Gamma } (відповідні непарні суми рівні нулю).
Проте, коефіцієнти при z 2 {\displaystyle z^{2}} і z 4 {\displaystyle z^{4}} часто записують в іншій, традиційній формі:
℘ E ( z ) = 1 z 2 + 1 20 g 2 ( Γ ) z 2 + 1 28 g 3 ( Γ ) z 4 + … , {\displaystyle \wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{20}}g_{2}(\Gamma )z^{2}+{\frac {1}{28}}g_{3}(\Gamma )z^{4}+\dots ,} де g 2 {\displaystyle g_{2}} і g 3 {\displaystyle g_{3}} — модулярні інваріанти ґратки Γ {\displaystyle \Gamma } :
g 2 ( Γ ) = 60 G 4 ( Γ ) , g 3 ( Γ ) = 140 G 6 ( Γ ) . {\displaystyle g_{2}(\Gamma )=60G_{4}(\Gamma ),\quad g_{3}(\Gamma )=140G_{6}(\Gamma ).} З визначеними раніше позначеннями, ℘ функція задовольняє наступне диференціальне рівняння :
[ ℘ ′ ( z ) ] 2 = 4 [ ℘ ( z ) ] 3 − g 2 ℘ ( z ) − g 3 , {\displaystyle [\wp '(z)]^{2}=4[\wp (z)]^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3},} . Еліптичні функції Веєрштрасса можуть бути подані через обертання еліптичних інтегралів . Нехай
u = ∫ y ∞ d s 4 s 3 − g 2 s − g 3 . {\displaystyle u=\int _{y}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}.} де g 2 і g 3 приймаються константами. Тоді
y = ℘ ( u ) . {\displaystyle y=\wp (u).} Дійсна частина дискримінанта як функція від q = e π i τ {\displaystyle q=e^{\pi i\tau }} на одиничному крузі Модулярний дискримінант Δ {\displaystyle \Delta } еліптичної функції Веєрштрасса означується як дискримінант многочлена в правій частині диференціального рівняння наведеного вище: Δ = g 2 3 − 27 g 3 2 . {\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.}
Дискримінант є модулярною формою ваги 12. Це означає, що під дією модулярної групи він перетворюється за правилом Δ ( a τ + b c τ + d ) = ( c τ + d ) 12 Δ ( τ ) {\displaystyle \Delta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\left(c\tau +d\right)^{12}\Delta (\tau )} де a , b , d , c ∈ Z {\displaystyle a,b,d,c\in \mathbb {Z} } такі, що a d − b c = 1 {\displaystyle ad-bc=1} .[ 1]
Справедлива рівність Δ = ( 2 π ) 12 η 24 {\displaystyle \Delta =(2\pi )^{12}\eta ^{24}} , де η {\displaystyle \eta } позначає ета-функцію Дедекінда [en] .[ 2]
Коефіцієнти Фур'є розкладу Δ {\displaystyle \Delta } в ряд по степенях q = e π i τ {\displaystyle q=e^{\pi i\tau }} визначаються через тау-функцію Рамануджана [en] .
Для еліптичних функцій Веєрштрасса виконується:
det [ ℘ ( z ) ℘ ′ ( z ) 1 ℘ ( y ) ℘ ′ ( y ) 1 ℘ ( z + y ) − ℘ ′ ( z + y ) 1 ] = 0 {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}\wp (z)&\wp '(z)&1\\\wp (y)&\wp '(y)&1\\\wp (z+y)&-\wp '(z+y)&1\end{bmatrix}}=0} (або в більш симетричній формі
det [ ℘ ( u ) ℘ ′ ( u ) 1 ℘ ( v ) ℘ ′ ( v ) 1 ℘ ( w ) ℘ ′ ( w ) 1 ] = 0 {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}\wp (u)&\wp '(u)&1\\\wp (v)&\wp '(v)&1\\\wp (w)&\wp '(w)&1\end{bmatrix}}=0} де u + v + w = 0 {\displaystyle u+v+w=0} ).
Також
℘ ( z + y ) = 1 4 { ℘ ′ ( z ) − ℘ ′ ( y ) ℘ ( z ) − ℘ ( y ) } 2 − ℘ ( z ) − ℘ ( y ) . {\displaystyle \wp (z+y)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp '(z)-\wp '(y)}{\wp (z)-\wp (y)}}\right\}^{2}-\wp (z)-\wp (y).} і
℘ ( 2 z ) = 1 4 { ℘ ″ ( z ) ℘ ′ ( z ) } 2 − 2 ℘ ( z ) , {\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right\}^{2}-2\wp (z),} якщо 2 z {\displaystyle 2z} не є періодом.
Вираження довільних еліптичних функцій через функції Веєрштрасса[ ред. | ред. код ] Будь-яка еліптична функція з періодами a {\displaystyle a} і b {\displaystyle b} може бути представлена у вигляді f ( z ) = h ( ℘ ( z ) ) + g ( ℘ ( z ) ) ℘ ′ ( z ) {\displaystyle f(z)=h(\wp (z))+g(\wp (z)){\wp }'(z)} де h , g — раціональні функції , ℘ ( z ) {\displaystyle \wp (z)} — функція Веєрштрасса з тими ж періодами що і у f ( z ) {\displaystyle f(z)} . Якщо при цьому f ( z ) {\displaystyle f(z)} є парною функцією , то її можна представити у вигляді f ( z ) = h ( ℘ ( z ) ) {\displaystyle f(z)=h(\wp (z))} , де h раціональна. Іншими словами поле еліптичних функцій з фундаментальними періодами a {\displaystyle a} і b {\displaystyle b} є скінченним розширенням поля C {\displaystyle \mathbb {C} } комплексних чисел , з породжуючими елементами ℘ ( z ) {\displaystyle \wp (z)} і ℘ ′ ( z ) {\displaystyle {\wp }'(z)} .
K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4 Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6