У математиці, Многочлени Бернуллі — многочлени, названі на честь Якоба Бернуллі, що виникають при вивченні багатьох спеціальних функцій, зокрема ζ-функції Рімана і ζ-функції Гурвіца, також є окремим випадком послідовності Аппеля. На відміну від ортогональних многочленів, многочлени Бернуллі визначні тим, що число коренів в інтервалі
не збільшується із зростанням степеня многочлена. При необмеженому збільшенні степеня, многочлени Бернуллі наближаються до тригонометричних функцій.
Подібний набір многочленів, заснований на твірній функції, називають сімейством многочленів Ейлера.
Многочлени Бернуллі
можна визначити різними способами. Вибір визначення залежить від зручності в тому або іншому випадку.
, де
— біноміальні коефіцієнти,
— числа Бернуллі.
Або
![{\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}{\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}C_{m}^{k}(x+k)^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b75239047216b6d47e1116b112634c76a00bead4)
Генератриса для многочленів Бернуллі рівна:
![{\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/859863c56c9cc68b6067a181f25910f361c2a960)
Генератриса для многочленів Ейлера рівна:
![{\displaystyle {\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa25590684cc771bf5c76a81b16195a57f8aff0a)
, де
— оператор формального диференціювання.
Визначення за допомогою інтегрального оператора
[ред. | ред. код] Многочлени Бернуллі є єдиними многочленами, що задовольняють рівняння
![{\displaystyle \int _{x}^{x+1}B_{n}(u)\,du=x^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0296f2ff5bae14981f207746636d3e9f4b62790b)
Інтегральний оператор
![{\displaystyle (Tf)(x)=\int _{x}^{x+1}f(u)\,du}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ad52a05540f064703569989862dd3ef75d8476)
для многочленів f, приймає ті ж значення, що й
![{\displaystyle {\begin{aligned}(Tf)(x)={e^{D}-1 \over D}f(x)&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{D^{n} \over (n+1)!}f(x)\\&{}=f(x)+{f'(x) \over 2}+{f''(x) \over 6}+{f'''(x) \over 24}+\cdots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feb53e6ec421dd8f875fafd7ce8802f0b534cf42)
Многочленами Бернуллі для найменших степенів є:
![{\displaystyle \ B_{0}(x)=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a59430c8f6b9d86f715ff50b57308e815dda06b2)
![{\displaystyle B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dda24a32bfaca77e1c928f504709b5ba2d13f27)
![{\displaystyle B_{2}(x)=x^{2}-x+{\frac {1}{6}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db0cf8b09e9473e694cf18e24a52145f9fca993a)
![{\displaystyle B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d98b3be7c001b80f90d4a867c81f27f751e635b)
![{\displaystyle B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4386048a98067f5ae0133c6f3d8fee2955715c81)
![{\displaystyle B_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7320e1a44fa2a82f40e96df13f4fb58735c1f9ad)
![{\displaystyle B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2ac83f1d07c119242c8be3e2fedbcf032ffa9c2)
Значення многочленів Бернуллі при
рівні відповідним числам Бернуллі:
.
.
Невизначені інтеграли:
![{\displaystyle \int _{a}^{x}B_{n}(t)\,dt={\frac {B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c04c282d8224633ebb723c781589f0a8057399b3)
Визначені інтеграли:
![{\displaystyle \int _{0}^{1}B_{n}(t)B_{m}(t)\,dt=(-1)^{n-1}{\frac {m!n!}{(m+n)!}}B_{n+m}\quad m,n\geq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4788a9affd8d5c4424811cfcdcf062d82dec43d)
.
![{\displaystyle B_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}(x)y^{n-k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c24e20f44abbc23747969a6a3b361509d6302fe2)
![{\displaystyle \ B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af1593cd3e57a51a1968b9babcba07c66c34a3fe)
![{\displaystyle \ (-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3b30bf339139c4685ca9874583ec7a712aa8d54)
Ряди Фур'є для многочленів Бернуллі є також рядами Діріхле:
![{\displaystyle B_{n}(x)=-{\frac {n!}{(2\pi i)^{n}}}\sum _{k\not =0}{\frac {e^{2\pi ikx}}{k^{n}}}=-2n!\sum _{k=1}{\frac {\cos \left(2k\pi x-{\frac {n\pi }{2}}\right)}{(2k\pi )^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7265bf75bcedbb4318caff991bc9c6dff533279a)
Цей розклад справедливий коли 0 ≤ x ≤ 1 для n ≥ 2 і у випадку 0 < x < 1 для n = 1.
![{\displaystyle x^{n}={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n+1 \choose k}B_{k}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7268fadf8b7499535e4ee427dcb1101a320d3472)
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
- Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover, New York.
- Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3
- Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. pp. 495–519. ISBN 0-521-84903-9.