Пентація (гіпер-5 ) — ітераційна операція тетрації ; подібно до того як тетрація є операцією ітераційного піднесення до степеня . Застосовується для опису великих чисел.
Термін пентація , складається зі слів пента- (п'ять) та ітерація , був уперше застосований англійським математиком Рубеном Гудштейном в 1947 році.
Пентація може бути записана як гіпероператор a [ 5 ] b {\displaystyle a[5]b} , або в нотації Кнута як a ↑↑↑ b {\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b} чи a ↑ 3 b {\displaystyle a\uparrow ^{3}b} . А також у нотації Конвея як a → b → 3 {\displaystyle a\rightarrow b\rightarrow 3} .
Пентація є п'ятою по рахунку гіпероперацією.
додавання : a + n = a + 1 + 1 + ⋯ + 1 ⏟ n {\displaystyle a+n=a+\underbrace {1+1+\cdots +1} _{n}} множення : a × n = a + a + ⋯ + a ⏟ n {\displaystyle a\times n=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{n}} піднесення до степеня : a n = a × a × ⋯ × a ⏟ n {\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}} тетрація : n a = a a ⋅ ⋅ a ⏟ n {\displaystyle {^{n}a}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}} пентація: n a = a ⋅ ⋅ a a ⏟ n {\displaystyle {_{n}a}=\underbrace {^{^{^{^{a}\cdot }\cdot }a}a} _{n}} Кожна наступна операція представлена як ітерація попередньої.
Результат пентації можна отримати з четвертого стовпця таблиці значень функції Акермана : якщо A ( n , m ) {\displaystyle A(n,m)} визначена рекурентно, як A ( m − 1 , A ( m , n − 1 ) ) {\displaystyle A(m-1,A(m,n-1))} з початковими умовами A ( 1 , n ) = a n {\displaystyle A(1,n)=an} та A ( m , 1 ) = a {\displaystyle A(m,1)=a} , тоді a ↑↑↑ b = A ( 4 , b ) {\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=A(4,b)} .
1 ↑ 3 b = 1 {\displaystyle 1\uparrow ^{3}b=1} a ↑ 3 1 = a {\displaystyle a\uparrow ^{3}1=a} Додатково можна визначити:
a ↑ 3 0 = 1 {\displaystyle a\uparrow ^{3}0=1} a ↑ 3 − 1 = 0 {\displaystyle a\uparrow ^{3}-1=0} Для невеликих натуральних чисел:
2 ↑ 3 2 = 2 2 = 2 2 = 4 {\displaystyle 2\uparrow ^{3}2={^{2}2}=2^{2}=4} 2 ↑ 3 3 = 2 2 2 = 4 2 = 2 2 2 2 = 2 2 4 = 2 16 = 65 , 536 {\displaystyle 2\uparrow ^{3}3={^{^{2}2}2}={^{4}2}=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65,536} 2 ↑ 3 4 = 2 2 2 2 = 65 , 536 2 = 2 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ 2 (a power tower of height 65,536) ≈ exp 10 65 , 533 ( 4.29508 ) {\displaystyle 2\uparrow ^{3}4={^{^{^{2}2}2}2}={^{65,536}2}=2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 65,536) }}\approx \exp _{10}^{65,533}(4.29508)} 3 ↑ 3 2 = 3 3 = 3 3 3 = 3 27 = 7 , 625 , 597 , 484 , 987 {\displaystyle 3\uparrow ^{3}2={^{3}3}=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987} 3 ↑ 3 3 = 3 3 3 = 7 , 625 , 597 , 484 , 987 3 = 3 3 3 ⋅ ⋅ ⋅ 3 (a power tower of height 7,625,597,484,987) ≈ exp 10 7 , 625 , 597 , 484 , 986 ( 1.09902 ) {\displaystyle 3\uparrow ^{3}3={^{^{3}3}3}={^{7,625,597,484,987}3}=3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 7,625,597,484,987) }}\approx \exp _{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)} 4 ↑ 3 2 = 4 4 = 4 4 4 4 = 4 4 256 ≈ exp 10 3 ( 2.19 ) {\displaystyle 4\uparrow ^{3}2={^{4}4}=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2.19)} 5 ↑ 3 2 = 5 5 = 5 5 5 5 5 = 5 5 5 3125 ≈ exp 10 4 ( 3.33928 ) {\displaystyle 5\uparrow ^{3}2={^{5}5}=5^{5^{5^{5^{5}}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx \exp _{10}^{4}(3.33928)} Goodstein, R. L. (1947), "Transfinite ordinals in recursive number theory", The Journal of Symbolic Logic, 12: 123–129, MR 0022537
Основні Обернена до лівого аргументуОбернена до правого аргументу Класифікації
Приклади чисел в порядку збільшення Нотації Функції Статті за темою