Поліноми Бернштейна — алгебраїчні поліноми, що є лінійною комбінацією базисних поліномів Бернштейна. Названі на честь українського математика Сергія Бернштейна, який вперше їх вивчав у зв'язку з доведенням теореми Стоуна — Веєрштрасса. Поліноми широко використовуються у обчислювальній математиці, теорії ймовірностей, комп'ютерній графіці, зокрема для визначення кривих Без'є.
(n + 1) базисний поліном Бернштейна степеня n визначається формулами:
![{\displaystyle b_{k,n}(x)={\binom {n}{k}}x^{k}(1-x)^{n-k},\qquad k=0,\ldots ,n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4584517ffc5b5ad351dd704e5d1e021df63ecec1)
де
— біноміальний коефіцієнт.
Базисні поліноми Бернштейна степеня n утворюють базис для лінійного простору
поліномів степеня n.
Лінійна комбінація базисних поліномів Бернштейна
![{\displaystyle B_{n}(f;x)=B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right)b_{k,n}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57a3bc0dcb753b1f3fbd0cfa897fd7a4796e6c9e)
називається поліномом Бернштейна степеня n. Коефіцієнти
називаються коефіцієнтами Бернштейна.
базисні поліноми Бернштейна найменших степенів мають вигляд:
![{\displaystyle b_{0,0}(x)=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77d9caff8798d1c5f3f9a265f6fc4a8fa1f8f85f)
![{\displaystyle b_{0,1}(x)=1-x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f51b1311a7df91200bb8962666c6b4ef58ed274)
![{\displaystyle b_{1,1}(x)=x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13af2659b833b27b6b411475760472d943e272ad)
![{\displaystyle b_{0,2}(x)=(1-x)^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/107741246a7230675cc6123d7d120feb17f82348)
![{\displaystyle b_{1,2}(x)=2x(1-x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c601aa169be290a8266a8d2df9c9b1e105599a2)
![{\displaystyle b_{2,2}(x)=x^{2}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52e4b0b58e7f451303a31d22b37b4e1ff0faf8c6)
,
- Невід'ємність на інтервалі від 0 до 1:
,
.
![{\displaystyle B_{k,n}(x)=B_{n-k,n}(1-x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cab747e2a19587d98b9e0aeeff61bb2ace13949c)
![{\displaystyle ={\frac {{n \choose k}{m \choose j}}{{n+m} \choose {k+j}}}B_{k+j,n+m}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abae09f176b73083215ee0e5daaceca0f9133ce9)
де приймається
для
чи ![{\displaystyle i>n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88568023bcb42b163446ab1cc4b343f4ba079e95)
- Лінійна комбінація поліномів вищих порядків:
![{\displaystyle B_{k,n}(x)={\frac {n+1-k}{n+1}}B_{k,n+1}(x)+{\frac {k+1}{n+1}}B_{k+1,n+1}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6379d833ed090776012de509e458f9df3ba6918)
має локальний максимум на проміжку
у точці
. Дане значення рівне: ![{\displaystyle \nu ^{\nu }n^{-n}(n-\nu )^{n-\nu }{n \choose \nu }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cddc8a459bbd2e362dc47251225d7139b4e89155)
Вираження
через поліноми Бернштейна
[ред. | ред. код] Для вираження звичайних степенів через поліноми Бернштейна справедлива формула:
![{\displaystyle x^{k}=\sum _{i=k}^{n}{\frac {i(i-1)\ldots (i-k+1)}{n(n-1)\ldots (n-k+1)}}B_{i}^{n}(x),~n\geq 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9ad44b3844322736d96e32b8b12b3372d0a9328)
Нехай f(x) — неперервна функція на інтервалі [0, 1]. Розглянемо поліноми Бернштейна:
![{\displaystyle B_{n}(f)(x)=\sum _{\nu =0}^{n}f\left({\frac {\nu }{n}}\right)b_{\nu ,n}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c96840de5e4d475cd00766ec8e7cb78bf61dc3b)
Тоді:
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }B_{n}(f)(x)=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38f643bc4bc72423fd75b08e16507ff81b79e1bb)
рівномірно на проміжку [0, 1].