Простір Шварца — простір функцій , всі похідні яких швидко спадають до нуля з ростом аргумента. Названий Александром Гротендіком в честь Лорана Шварца [1] . Функції з цього простору часто називають функціями Шварца. Позначається найчастіше буквою S {\displaystyle S} або S {\displaystyle {\mathcal {S}}} .
Формально кажучи, складається з таких гладких функцій f ( x ) {\displaystyle f(x)} , що x m ∂ k f ( x ) → 0 {\displaystyle x^{m}\partial ^{k}f(x)\rightarrow 0} при | x | → ∞ {\displaystyle |x|\rightarrow \infty } швидше, ніж 1 | x | α {\displaystyle {\frac {1}{|x|^{\alpha }}}} при довільному додатному α {\displaystyle \alpha } .
Важливою властивістю простору Шварца є те, що перетворення Фур'є є автоморфізмом цього простору. Будь-яку функцію з цього простору перетворення Фур'є переводить у деяку функцію з цього ж простору, і навпаки — кожна з функцій з простору Шварца є прообразом Фур'є деякої функції з цього простору.
Даний простір використовується, наприклад, як простір основних функцій при означенні перетворення Фур'є узагальнених функцій (узагальнені функції над S {\displaystyle S} часто називають узагальненими функціями повільного зростання ) і відіграє досить важливу роль у функціональному аналізі та теорії рівнянь з частинними похідними.
Нехай C ∞ ( R n ) {\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})} — простір нескінченно-диференційовних функцій f ( x ) : R n → C {\displaystyle f(x):\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} } , а
C D ∞ ( R n ) , D ⊂ R n {\displaystyle C_{D}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),D\subset \mathbb {R} ^{n}} — простір нескінченно-диференційовних функцій з компактним носієм (тут D {\displaystyle D} — деяка компактна множина в R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ).
Для довільних мультиіндексів m , k {\displaystyle m,k} визначимо систему норм ‖ ⋅ ‖ m , k {\displaystyle \|\cdot \|_{m,k}} наступним чином:
‖ f ‖ m , k = sup x ∈ R n | x m ∂ k f ( x ) | , f ( x ) ∈ C ∞ ( R n ) . {\displaystyle \|f\|_{m,k}=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{m}\partial ^{k}f(x)\right|,\quad f(x)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).} Простором Шварца або простором швидкоспадних функцій на R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} є такий функціональний простір:
S ( R n ) = { f ∈ C ∞ ( R n ) ∣ ‖ f ‖ m , k < + ∞ ∀ m , k } . {\displaystyle S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)=\left\{f\in C^{\infty }(\mathbf {R} ^{n})\mid \|f\|_{m,k}<+\infty \quad \forall m,k\right\}.} З означення простору випливає, що виконуються нерівності
sup x ∈ R n | x m ∂ k f ( x ) | ⩽ C m k , {\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{m}\partial ^{k}f(x)\right|\leqslant C_{mk},} де C m k {\displaystyle C_{mk}} — деякі подвійна послідовність додатних дійсних чисел, причому на поведінку цієї послідовності не накладається ніяких обмежень.
Збіжність в просторі S {\displaystyle S} визначається наступним чином: послідовність функцій { φ s ( x ) } s = 1 ∞ {\displaystyle \{\varphi _{s}(x)\}_{s=1}^{\infty }} збігається до функції φ ( x ) {\displaystyle \varphi (x)} , якщо
а) для довільного q = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle q=0,1,2,\ldots } послідовність похідних { φ s ( q ) ( x ) } {\displaystyle \{\varphi _{s}^{(q)}(x)\}} збігається рівномірно до φ ( q ) ( x ) {\displaystyle \varphi ^{(q)}(x)} в довільній обмеженій області;
б) для довільних m , k {\displaystyle m,k} виконуються оцінки
sup x ∈ R n | x m ∂ k φ s ( x ) | ⩽ C m k , {\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{m}\partial ^{k}\varphi _{s}(x)\right|\leqslant C_{mk},} де сталі C m k {\displaystyle C_{mk}} не залежать від s {\displaystyle s} . Двовимірна функція Гауса є прикладом швидкоспадної функції f ( x ) = x a e − ( b x ) 2 , a , b ∈ R ; {\displaystyle f(x)=x^{a}\displaystyle e^{-(bx)^{2}},\quad a,b\in \mathbb {R} ;} як узагальнення попереднього прикладу — всі функції виду f ( x ) = P ( x ) e − b x α , b , α > 0 , {\displaystyle f(x)=P(x)\displaystyle e^{-bx^{\alpha }},\quad b,\alpha >0,} де P ( x ) {\displaystyle P(x)} — довільний многочлен ;
за означенням функції з простіру S ( R n ) {\displaystyle S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)} є підмножиною функцій із C ∞ ( R n ) , S ( R n ) ⊂ C ∞ ( R n ) {\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),\,S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)\subset C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})} ; функції з C D ∞ ( R n ) {\displaystyle C_{D}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})} утворюють щільну множину в S ( R n ) {\displaystyle S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)} ; лінійна комбінація, поточковий добуток довільних двох функцій із S ( R n ) {\displaystyle S(\mathbb {R} ^{n})} та зсув по аргументу не виводять за межі простору S ( R n ) {\displaystyle S(\mathbb {R} ^{n})} f , g ∈ S ( R n ) , ∀ α , β ∈ R , ∀ h ∈ R n : α f ( x ) + β g ( x ) , f ( x ) ⋅ g ( x ) , f ( x + h ) ∈ S ( R n ) ; {\displaystyle f,g\in S(\mathbb {R} ^{n}),\,\,\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {R} ,\,\,\forall h\in \mathbb {R} ^{n}:\quad \alpha f(x)+\beta g(x),\,\,f(x)\cdot g(x),\,\,f(x+h)\in S(\mathbb {R} ^{n});} перетворення Фур'є є автоморфізмом S ( R n ) → S ( R n ) ; {\displaystyle S(\mathbb {R} ^{n})\rightarrow S(\mathbb {R} ^{n});} довільна функція із S ( R ) {\displaystyle S(\mathbb {R} )} є рівномірно неперервною на R . {\displaystyle \mathbb {R} .} З означення простору Шварца випливає, що виконуються нерівності
sup x ∈ R n | x m ∂ k f ( x ) | ⩽ C m k . {\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{m}\partial ^{k}f(x)\right|\leqslant C_{mk}.} Якщо числа C m k {\displaystyle C_{mk}} спеціальним чином залежать від мультиіндексів m {\displaystyle m} та k , {\displaystyle k,} то виділяють такі простори типу простору Шварца:
Простір S α , α ⩾ 0 , {\displaystyle S_{\alpha },\alpha \geqslant 0,} складається з таких нескінченно диференційовних функцій f ( x ) {\displaystyle f(x)} , для яких виконуються нерівності ‖ f ‖ m , k = sup x ∈ R n | x m ∂ k f ( x ) | ⩽ C k B m m m β , f ∈ C ∞ ( R n ) {\displaystyle \|f\|_{m,k}=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{m}\partial ^{k}f(x)\right|\leqslant C_{k}B^{m}m^{m\beta },\quad f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})} де сталі C k , A {\displaystyle C_{k},A} залежать від функції f {\displaystyle f} .
Простір S β , β ⩾ 0 , {\displaystyle S^{\beta },\beta \geqslant 0,} складається з таких нескінченно диференційовних функцій f ( x ) {\displaystyle f(x)} , які задовольняють нерівності ‖ f ‖ m , k ⩽ C m A k k k α , {\displaystyle \|f\|_{m,k}\leqslant C_{m}A^{k}k^{k\alpha },} де сталі C m , B {\displaystyle C_{m},B} залежать від функції f {\displaystyle f} .
Простір S α β , α , β ⩾ 0 , {\displaystyle S_{\alpha }^{\beta },\alpha ,\beta \geqslant 0,} складається з таких нескінченно диференційовних функцій f ( x ) {\displaystyle f(x)} , які задовольняють нерівності
‖ f ‖ m , k ⩽ C A k B m k k α m m β , {\displaystyle \|f\|_{m,k}\leqslant CA^{k}B^{m}k^{k\alpha }m^{m\beta },} де сталі C , A , B {\displaystyle C,A,B} залежать від функції f {\displaystyle f} .
Простори S α , S β , S {\displaystyle S_{\alpha },S^{\beta },S} можна вважати граничними випадками простору S α β {\displaystyle S_{\alpha }^{\beta }} , а саме
S α = S α ∞ , S β = S ∞ β , S = S ∞ ∞ . {\displaystyle S_{\alpha }=S_{\alpha }^{\infty },\quad S^{\beta }=S_{\infty }^{\beta },\quad S=S_{\infty }^{\infty }.} ↑ TerzioĞglu, T. (1969). On Schwartz spaces. Mathematische Annalen, 182(3), 236–242. Простори
Теореми Оператори Алгебри Проблеми Застосування Узагальнення