Розсіяння Бабá (англ. Bhabha scattering) є процесом електрон -позитронного розсіяння у квантовій електродинаміці :
e + e − → e + e − {\displaystyle e^{+}e^{-}\rightarrow e^{+}e^{-}} Існують дві діаграми Фейнмана провідного порядку, що вносять вклад в амплітуду розсіяння : процес анігіляції та процес розсіяння. Розсіяння Баба названо на честь індійського фізика Хомі Баба .
Амплітуда розсіяння Баба використовується як монітор світності в електрон-позитронних колайдерах .
Розсіяння Баба використовувалось як монітор світності в ряді експериментів на e+ e– колайдерах, наприклад, на Великому електрон-позитронному колайдері . Точне вимірювання світності необхідно для точних вимірювань перерізів інших, більш рідкісних, процесів.
Електрон-позитронні колайдери, що працюють в районі низько розташованих адронних резонансів (приблизно від 1 до 10 ГеВ), такі як Пекінський електронний синхротрон (BES) та «B-фабрики» Belle II and BaBar , використовують розсіяння Баба на великі кути як монітор світності. Для досягнення бажаної точності на рівні 0,1 % експериментальні вимірювання необхідно порівняти з теоретичним розрахунком, що має включати квантово-електродинамічні поправки другого порядку.[ 1] Високоточне вимірювання загального адронного перерізу при цих низьких енергіях є вирішальним вкладом у теоретичний розрахунок аномального магнітного моменту мюона , який використовується для пошуку фізики поза межами Стандартної моделі .
У першому наближенні, усереднений за спіном диференціальний переріз для цього процесу можна описати як
d σ d ( cos θ ) = π α 2 s ( u 2 ( 1 s + 1 t ) 2 + ( t s ) 2 + ( s t ) 2 ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} (\cos \theta )}}={\frac {\pi \alpha ^{2}}{s}}\left(u^{2}\left({\frac {1}{s}}+{\frac {1}{t}}\right)^{2}+\left({\frac {t}{s}}\right)^{2}+\left({\frac {s}{t}}\right)^{2}\right)\,} де s , t і u — змінні Мандельштама , α {\displaystyle \alpha } — стала тонкої структури , і θ {\displaystyle \theta } — кут розсіювання.
Цей поперечний переріз нехтує масою електрона (вважаючи її значно меншою за енергію процесу), і включає лише внесок від обміну фотонами. Це наближення добре працює за енергій зіткнень, що є малими порівняно з масою Z-бозону , близько 91 ГеВ: при вищих енергіях також стає важливим внесок від обміну Z-бозонів.
У цій статті змінні Мандельштама визначаються як
s = {\displaystyle s=\,} ( k + p ) 2 = {\displaystyle (k+p)^{2}=\,} ( k ′ + p ′ ) 2 ≈ {\displaystyle (k'+p')^{2}\approx \,} 2 k ⋅ p ≈ {\displaystyle 2k\cdot p\approx \,} 2 k ′ ⋅ p ′ {\displaystyle 2k'\cdot p'\,} t = {\displaystyle t=\,} ( k − k ′ ) 2 = {\displaystyle (k-k')^{2}=\,} ( p − p ′ ) 2 ≈ {\displaystyle (p-p')^{2}\approx \,} − 2 k ⋅ k ′ ≈ {\displaystyle -2k\cdot k'\approx \,} − 2 p ⋅ p ′ {\displaystyle -2p\cdot p'\,} u = {\displaystyle u=\,} ( k − p ′ ) 2 = {\displaystyle (k-p')^{2}=\,} ( p − k ′ ) 2 ≈ {\displaystyle (p-k')^{2}\approx \,} − 2 k ⋅ p ′ ≈ {\displaystyle -2k\cdot p'\approx \,} − 2 k ′ ⋅ p {\displaystyle -2k'\cdot p\,}
де наближення справедливі для високих (релятивістських) енергій.
Як діаграма розсіяння, так і діаграма анігіляції вносять внесок у матричний елемент процесу. Якщо позначити 4-імпульс позитрона як k і k' , а 4-імпульс електрона як p і p' , і використовуючи правила Фейнмана, можна вивести наступні матричні елементи:
де γ μ {\displaystyle \gamma ^{\mu }\,} — гамма-матриці Дірака , u , a n d u ¯ {\displaystyle u,\ \mathrm {and} \ {\bar {u}}\,} — 4-спінори для ферміонів, а v , a n d v ¯ {\displaystyle v,\ \mathrm {and} \ {\bar {v}}\,} — 4-спінори для анти-ферміонів (див. Рівняння Дірака ). (розсіяння) (анігіляція) M = {\displaystyle {\mathcal {M}}=\,} − e 2 ( v ¯ k γ μ v k ′ ) 1 ( k − k ′ ) 2 ( u ¯ p ′ γ μ u p ) {\displaystyle -e^{2}\left({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\mu }v_{k'}\right){\frac {1}{(k-k')^{2}}}\left({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\mu }u_{p}\right)} + e 2 ( v ¯ k γ ν u p ) 1 ( k + p ) 2 ( u ¯ p ′ γ ν v k ′ ) {\displaystyle +e^{2}\left({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }u_{p}\right){\frac {1}{(k+p)^{2}}}\left({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }v_{k'}\right)}
Зверніть увагу, що між двома діаграмами є різниця у знаку.
Для обчислення неполяризованого перерізу потрібно усереднити за можливими значеннями спінів вхідних частинок (s e- та s e+ ) і підсумувати за спінами вихідних частинок. Це,
| M | 2 ¯ {\displaystyle {\overline {|{\mathcal {M}}|^{2}}}\,} = 1 ( 2 s e − + 1 ) ( 2 s e + + 1 ) ∑ s p i n s | M | 2 {\displaystyle ={\frac {1}{(2s_{e-}+1)(2s_{e+}+1)}}\sum _{\mathrm {spins} }|{\mathcal {M}}|^{2}\,} = 1 4 ∑ s = 1 2 ∑ s ′ = 1 2 ∑ r = 1 2 ∑ r ′ = 1 2 | M | 2 {\displaystyle ={\frac {1}{4}}\sum _{s=1}^{2}\sum _{s'=1}^{2}\sum _{r=1}^{2}\sum _{r'=1}^{2}|{\mathcal {M}}|^{2}\,}
Спочатку можна обчислити | M | 2 {\displaystyle |{\mathcal {M}}|^{2}\,} :
| M | 2 {\displaystyle |{\mathcal {M}}|^{2}\,} = e 4 | ( v ¯ k γ μ v k ′ ) ( u ¯ p ′ γ μ u p ) ( k − k ′ ) 2 | 2 {\displaystyle e^{4}\left|{\frac {({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\mu }v_{k'})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\mu }u_{p})}{(k-k')^{2}}}\right|^{2}\,} (розсіяння) − e 4 ( ( v ¯ k γ μ v k ′ ) ( u ¯ p ′ γ μ u p ) ( k − k ′ ) 2 ) ∗ ( ( v ¯ k γ ν u p ) ( u ¯ p ′ γ ν v k ′ ) ( k + p ) 2 ) {\displaystyle {}-e^{4}\left({\frac {({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\mu }v_{k'})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\mu }u_{p})}{(k-k')^{2}}}\right)^{*}\left({\frac {({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }u_{p})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }v_{k'})}{(k+p)^{2}}}\right)\,} (інтерференція) − e 4 ( ( v ¯ k γ μ v k ′ ) ( u ¯ p ′ γ μ u p ) ( k − k ′ ) 2 ) ( ( v ¯ k γ ν u p ) ( u ¯ p ′ γ ν v k ′ ) ( k + p ) 2 ) ∗ {\displaystyle {}-e^{4}\left({\frac {({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\mu }v_{k'})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\mu }u_{p})}{(k-k')^{2}}}\right)\left({\frac {({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }u_{p})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }v_{k'})}{(k+p)^{2}}}\right)^{*}\,} (інтерференція) + e 4 | ( v ¯ k γ ν u p ) ( u ¯ p ′ γ ν v k ′ ) ( k + p ) 2 | 2 {\displaystyle {}+e^{4}\left|{\frac {({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }u_{p})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }v_{k'})}{(k+p)^{2}}}\right|^{2}\,} (анігіляція)
| M | 2 {\displaystyle |{\mathcal {M}}|^{2}\,} = e 4 ( k − k ′ ) 4 ( ( v ¯ k γ μ v k ′ ) ( u ¯ p ′ γ μ u p ) ) ∗ ( ( v ¯ k γ ν v k ′ ) ( u ¯ p ′ γ ν u p ) ) {\displaystyle ={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}{\Big (}({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\mu }v_{k'})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\mu }u_{p}){\Big )}^{*}{\Big (}({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }v_{k'})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }u_{p}){\Big )}\,} ( 1 ) {\displaystyle (1)\,} = e 4 ( k − k ′ ) 4 ( ( v ¯ k γ μ v k ′ ) ∗ ( u ¯ p ′ γ μ u p ) ∗ ) ( ( v ¯ k γ ν v k ′ ) ( u ¯ p ′ γ ν u p ) ) {\displaystyle ={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}{\Big (}({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\mu }v_{k'})^{*}({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\mu }u_{p})^{*}{\Big )}{\Big (}({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }v_{k'})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }u_{p}){\Big )}\,} ( 2 ) {\displaystyle (2)\,} = e 4 ( k − k ′ ) 4 ( ( v ¯ k ′ γ μ v k ) ( u ¯ p γ μ u p ′ ) ) ( ( v ¯ k γ ν v k ′ ) ( u ¯ p ′ γ ν u p ) ) {\displaystyle ={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}{\Big (}\left({\bar {v}}_{k'}\gamma ^{\mu }v_{k}\right)\left({\bar {u}}_{p}\gamma _{\mu }u_{p'}\right){\Big )}{\Big (}\left({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }v_{k'}\right)\left({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }u_{p}\right){\Big )}\,} ( 3 ) {\displaystyle (3)\,} = e 4 ( k − k ′ ) 4 ( v ¯ k ′ γ μ v k ) ( v ¯ k γ ν v k ′ ) ( u ¯ p γ μ u p ′ ) ( u ¯ p ′ γ ν u p ) {\displaystyle ={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}\left({\bar {v}}_{k'}\gamma ^{\mu }v_{k}\right)\left({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }v_{k'}\right)\left({\bar {u}}_{p}\gamma _{\mu }u_{p'}\right)\left({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }u_{p}\right)\,} ( 4 ) {\displaystyle (4)\,}
Далі треба просумувати спіни всіх чотирьох частинок. Позначимо спін електрона як s і s' , а спін позитрона як r і r' .
∑ s p i n s | M | 2 {\displaystyle \sum _{\mathrm {spins} }|{\mathcal {M}}|^{2}\,} = e 4 ( k − k ′ ) 4 ( ∑ r ′ v ¯ k ′ γ μ ( ∑ r v k v ¯ k ) γ ν v k ′ ) ( ∑ s u ¯ p γ μ ( ∑ s ′ u p ′ u ¯ p ′ ) γ ν u p ) {\displaystyle ={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}\left(\sum _{r'}{\bar {v}}_{k'}\gamma ^{\mu }(\sum _{r}v_{k}{\bar {v}}_{k})\gamma ^{\nu }v_{k'}\right)\left(\sum _{s}{\bar {u}}_{p}\gamma _{\mu }(\sum _{s'}{u_{p'}{\bar {u}}_{p'}})\gamma _{\nu }u_{p}\right)\,} ( 5 ) {\displaystyle (5)\,} = e 4 ( k − k ′ ) 4 Tr ( ( ∑ r ′ v k ′ v ¯ k ′ ) γ μ ( ∑ r v k v ¯ k ) γ ν ) Tr ( ( ∑ s u p u ¯ p ) γ μ ( ∑ s ′ u p ′ u ¯ p ′ ) γ ν ) {\displaystyle ={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}\operatorname {Tr} \left({\Big (}\sum _{r'}v_{k'}{\bar {v}}_{k'}{\Big )}\gamma ^{\mu }{\Big (}\sum _{r}v_{k}{\bar {v}}_{k}{\Big )}\gamma ^{\nu }\right)\operatorname {Tr} \left({\Big (}\sum _{s}u_{p}{\bar {u}}_{p}{\Big )}\gamma _{\mu }{\Big (}\sum _{s'}{u_{p'}{\bar {u}}_{p'}}{\Big )}\gamma _{\nu }\right)\,} ( 6 ) {\displaystyle (6)\,} = e 4 ( k − k ′ ) 4 Tr ( ( k / ′ − m ) γ μ ( k / − m ) γ ν ) ⋅ Tr ( ( p / ′ + m ) γ μ ( p / + m ) γ ν ) {\displaystyle ={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}\operatorname {Tr} \left((k\!\!\!/'-m)\gamma ^{\mu }(k\!\!\!/-m)\gamma ^{\nu }\right)\cdot \operatorname {Tr} \left((p\!\!\!/'+m)\gamma _{\mu }(p\!\!\!/+m)\gamma _{\nu }\right)\,} ( 7 ) {\displaystyle (7)\,} = e 4 ( k − k ′ ) 4 ( 4 ( k ′ μ k ν − ( k ′ ⋅ k ) η μ ν + k ′ ν k μ ) + 4 m 2 η μ ν ) ( 4 ( p ′ μ p ν − ( p ′ ⋅ p ) η μ ν + p ν ′ p μ ) + 4 m 2 η μ ν ) {\displaystyle ={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}\left(4\left({k'}^{\mu }k^{\nu }-(k'\cdot k)\eta ^{\mu \nu }+k'^{\nu }k^{\mu }\right)+4m^{2}\eta ^{\mu \nu }\right)\left(4\left({p'}_{\mu }p_{\nu }-(p'\cdot p)\eta _{\mu \nu }+p'_{\nu }p_{\mu }\right)+4m^{2}\eta _{\mu \nu }\right)\,} ( 8 ) {\displaystyle (8)\,} = 32 e 4 ( k − k ′ ) 4 ( ( k ′ ⋅ p ′ ) ( k ⋅ p ) + ( k ′ ⋅ p ) ( k ⋅ p ′ ) − m 2 p ′ ⋅ p − m 2 k ′ ⋅ k + 2 m 4 ) {\displaystyle ={\frac {32{e^{4}}}{(k-k')^{4}}}\left((k'\cdot p')(k\cdot p)+(k'\cdot p)(k\cdot p')-m^{2}p'\cdot p-m^{2}k'\cdot k+2m^{4}\right)\,} ( 9 ) {\displaystyle (9)\,}
Хоча ця формула є точною, у випадку електронів зазвичай досліджують масштаби енергій, які набагато перевищують масу електрона. Нехтування масою електрона тоді дає спрощений вигляд:
1 4 ∑ s p i n s | M | 2 {\displaystyle {\frac {1}{4}}\sum _{\mathrm {spins} }|{\mathcal {M}}|^{2}\,} = 32 e 4 4 ( k − k ′ ) 4 ( ( k ′ ⋅ p ′ ) ( k ⋅ p ) + ( k ′ ⋅ p ) ( k ⋅ p ′ ) ) {\displaystyle ={\frac {32e^{4}}{4(k-k')^{4}}}\left((k'\cdot p')(k\cdot p)+(k'\cdot p)(k\cdot p')\right)\,} = 8 e 4 t 2 ( 1 2 s 1 2 s + 1 2 u 1 2 u ) {\displaystyle ={\frac {8e^{4}}{t^{2}}}\left({\tfrac {1}{2}}s{\tfrac {1}{2}}s+{\tfrac {1}{2}}u{\tfrac {1}{2}}u\right)\,} = 2 e 4 s 2 + u 2 t 2 {\displaystyle =2e^{4}{\frac {s^{2}+u^{2}}{t^{2}}}\,}
Процес отримання матричного елемента для анігіляції подібний до вищезазначеного. Оскільки дві діаграми перетворюються одна в одну прости поворотом, а частинки початкового та кінцевого стану однакові, достатньо переставити імпульси, що дає
1 4 ∑ s p i n s | M | 2 {\displaystyle {\frac {1}{4}}\sum _{\mathrm {spins} }|{\mathcal {M}}|^{2}\,} = 32 e 4 4 ( k + p ) 4 ( ( k ⋅ k ′ ) ( p ⋅ p ′ ) + ( k ′ ⋅ p ) ( k ⋅ p ′ ) ) {\displaystyle ={\frac {32e^{4}}{4(k+p)^{4}}}\left((k\cdot k')(p\cdot p')+(k'\cdot p)(k\cdot p')\right)\,} = 8 e 4 s 2 ( 1 2 t 1 2 t + 1 2 u 1 2 u ) {\displaystyle ={\frac {8e^{4}}{s^{2}}}\left({\tfrac {1}{2}}t{\tfrac {1}{2}}t+{\tfrac {1}{2}}u{\tfrac {1}{2}}u\right)\,} = 2 e 4 t 2 + u 2 s 2 {\displaystyle =2e^{4}{\frac {t^{2}+u^{2}}{s^{2}}}\,}
(Цей результат пропорційний ( 1 + cos 2 θ ) {\displaystyle (1+\cos ^{2}\theta )} , де θ {\displaystyle \theta } — кут розсіяння в системі центру мас.)
Оцінка останнього, інтерференційного члена за тим самим принципом, та додавання трьох членів, дає кінцевий результат:
| M | 2 ¯ 2 e 4 = u 2 + s 2 t 2 + 2 u 2 s t + u 2 + t 2 s 2 {\displaystyle {\frac {\overline {|{\mathcal {M}}|^{2}}}{2e^{4}}}={\frac {u^{2}+s^{2}}{t^{2}}}+{\frac {2u^{2}}{st}}+{\frac {u^{2}+t^{2}}{s^{2}}}\,}
Теоретичні концепти Явища Частинки