Скінченна p-група — Вікіпедія
Алгебрична структура → Теорія груп Теорія груп |
---|
![]() |
|
|
Група називається скінченною -групою, якщо вона має порядок, рівний деякому степеню простого числа.
Нехай — скінченна -група, тоді
- — нільпотентна;
- , де — центр групи P;
- для будь-кого в існує нормальна підгрупа порядку ;
- якщо нормальна в , то ;
- ;
- .
У цьому розділі описано визначення та властивості деяких класів скінченних -груп, які найчастіше розглядаються в науковій літературі.
Скінченну -групу порядку називають групою максимального класу, якщо її степінь нільпотентності дорівнює .
Якщо — скінченна -група максимального класу, то і .
Єдиними 2-групами порядку максимального класу є: діедральна група , узагальнена група кватерніонів та напівдіедральна група .
На відміну від 2-груп, випадок p-груп максимального класу при p>2 значно складніший.
Скінченну -групу називають -центральною, якщо . Поняття двоїсте, у певному сенсі, поняттю потужної -групи.
Скінченну -групу називають потужною, якщо при і при . Поняття двоїсте, у певному сенсі, поняттю -центральної -групи.
Скінченну -групу називають регулярною, якщо для будь-яких виконано , де . Регулярними є, наприклад, усі абелеві -групи. Групу, яка не є регулярною, називають нерегулярною.
- Будь-яка підгрупа та фактор-група регулярної -групи регулярна.
- Скінченна -група регулярна, якщо її підгрупа, породжена двома елементами, регулярна.
- Скінченна -група порядку не більшого є регулярною.
- Скінченна -група, клас нільпотентності якої менше , є регулярною. Також регулярні всі групи класу нільпотентності 2 при .
- Будь-яка скінченна неабелева 2-група є нерегулярною.
- Число неізоморфних груп порядку дорівнює 1: група .
- Число неізоморфних груп порядку дорівнює 2: групи і .
- Число неізоморфних груп порядку дорівнює 5, з них три абелеві групи: , , і дві неабелеві: при — і ; при p = 2 — , .
- Число неізоморфних груп порядку дорівнює 15 при , число груп порядку дорівнює 14.
- Число неізоморфних груп порядку дорівнює при . Число груп порядку дорівнює 51, число груп порядку дорівнює 67.
- Число неізоморфних груп порядку дорівнює при . Число груп порядку дорівнює 267, число груп порядку дорівнює 504.
- Число неізоморфних груп порядку дорівнює при . Число груп порядку дорівнює 2328, число груп порядку дорівнює 9310, число груп порядку дорівнює 34297.
При число неізоморфних груп порядку асимптотично дорівнює .
Для груп -автоморфізмів скінченної -групи існують нескладні верхні оцінки, проте оцінки знизу значно складніші. Протягом понад півстоліття залишається відкритою така гіпотеза:
- Нехай є нециклічною -групою порядку тоді .
Цю гіпотезу підтверджено для великого класу -груп: абелевих груп, всіх груп порядків не більше , групи максимального класу. Однак загального підходу до цієї проблеми поки що не знайдено.
Дж. Томпсон довів відому теорему, яка стверджує, що скінченна група з регулярним автоморфізмом простого порядку нільпотентна.
- Нехай група має регулярний автоморфізм простого порядку . Тоді її клас нільпотентності дорівнює .
Поки що доведено лише значно слабші оцінки: (Кострикін, Крекнін).
Гіпотеза Бернсайда полягала в тому, що, якщо є група з твірними та періодом (тобто всі її елементи задовольняють співвідношенню ), вона скінченна. Якщо це так, позначимо максимальну з цих груп через . Тоді всі інші групи з такою самою властивістю будуть її фактор-групами. Справді, як легко показати, група є елементарною абелевою 2-групою. Ван дер Варден довів, що порядок групи дорівнює . Однак, як показали Новіков і Адян, при і за будь-якого непарного група нескінченна.
Послаблена гіпотеза Бернсайда стверджує, що порядки скінченних -породжених груп періоду обмежені. Цю гіпотезу довів Юхим Зельманов. Для скінченних -груп вона означає, що існує лише скінченне число -груп даної експоненти та з цим числом твірних.
Класифікація нерегулярних -груп порядку
- Белоногов В. А. Задачник по теории групп — М.: Наука, 2000.
- Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)
- Холл М. Теория групп. Издательство иностранной литературы — М., 1962.
- Хухро E.И. O p-группах автоморфизмов абелевых p-групп — Алгебра и логика, 39, N 3 (2000), 359—371.
- Berkovich Y. Groups of Prime Power Order, Parts I, II, (in preparation).
- Berkovich Y., Janko Z. Groups of Prime Power Order, Part III, (in preparation).
- Gorenstein D.[en] Finite groups — N.Y.: Harper and Row, 1968.
- Huppert B.[en] Endliche Gruppen I. — Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967.
- Lazard M.[en] Groupes analytiques p-adiques — Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci., 26 (1965), 389—603.
- Lubotzky A.[en], Mann A. Powerful p-groups, I: finite groups, J. Algebra, 105, N2 (1987), 484—505; II: p-adic analytic groups, ibid., 506—515.
- Weigel T. Combinatorial properties of p-central groups — Freiburg Univ., 1996, preprint.
- Weigel T. p-Central groups and Poincare duality — Freiburg Univ., 1996, preprint.