Тригонометричні тотожності — математичні вирази з тригонометричними функціями , що виконуються для всіх значень аргумента зі спільної області визначення.
В цій статті кути позначені грецькими буквами α , β , γ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma } і т. д. Величину кута найчастіше задають в градусах або радіанах :
1 повне коло = 360 градусів = 2 π {\displaystyle \pi } радіан В наступній таблиці наведено спвівідношення між значеннями в градусах і радіанах для деяких кутів
Градуси 30° 60° 120° 150° 210° 240° 300° 330° Радіани π 6 {\displaystyle {\frac {\pi }{6}}\!} π 3 {\displaystyle {\frac {\pi }{3}}\!} 2 π 3 {\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}\!} 5 π 6 {\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}\!} 7 π 6 {\displaystyle {\frac {7\pi }{6}}\!} 4 π 3 {\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}\!} 5 π 3 {\displaystyle {\frac {5\pi }{3}}\!} 11 π 6 {\displaystyle {\frac {11\pi }{6}}\!} Градуси 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° Радіани π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\!} π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\!} 3 π 4 {\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}\!} π {\displaystyle \pi \!} 5 π 4 {\displaystyle {\frac {5\pi }{4}}\!} 3 π 2 {\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}\!} 7 π 4 {\displaystyle {\frac {7\pi }{4}}\!} 2 π {\displaystyle 2\pi \!}
Якщо не сказано інакше, то всі кути задано у радіанах, а кути, що закінчуються символом (°) — в градусах.
У статті будуть наведені співвідношення та тотожності для шести основних тригонометричних функцій:
синус sin α , {\displaystyle \sin \alpha ,} косинус cos α , {\displaystyle \cos \alpha ,} тангенс tg α = sin α cos α , α ≠ π 2 + π n , n ∈ Z , {\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }},\quad \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,\,n\in \mathbb {Z} ,}
котангенс ctg α = cos α sin α , α ≠ π n , n ∈ Z , {\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }},\quad \alpha \neq \pi n,\,n\in \mathbb {Z} ,}
секанс sec α = 1 cos α , α ≠ π 2 + π n , n ∈ Z , {\displaystyle \operatorname {sec} \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }},\quad \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,\,n\in \mathbb {Z} ,}
косеканс csc α = 1 sin α , α ≠ π n , n ∈ Z , {\displaystyle \operatorname {csc} \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }},\quad \alpha \neq \pi n,\,n\in \mathbb {Z} ,} В англомовній літературі тангенс та котангенс зазвичай позначають tan α {\displaystyle \tan \alpha } та cot α , {\displaystyle \cot \alpha ,} відповідно.
Обернені тригонометричні функції це такі функції, композиція яких зі звичайними тригонометричними функціями дає тотожне відображення. Наприклад, функція обернена до синуса, відома як обернений синус (sin−1 ) або арксинус (arcsin or asin), задовольняє співвідношення
sin ( arcsin x ) = x , | x | ≤ 1 {\displaystyle \sin(\arcsin x)=x,\quad \quad |x|\leq 1} та
arcsin ( sin x ) = x , | x | ≤ π 2 . {\displaystyle \arcsin(\sin x)=x,\quad \quad |x|\leq {\frac {\pi }{2}}.} Тригонометричні функції та обернені до них наведені в наступній таблиці:
Функція sin cos tg ctg sec csc Обернена arcsin arccos arctg arcctg arcsec arccsc
Крім основних шести, також використовують інші тригонометричні функції кута. Їх використовували раніше при розв'язуванні різних навігаційних задач, однак з розвитком обчислювальної техніки вони втратили свою актуальність.
Назва Скорочене позн. Значення синус-верзус versin ( θ ) {\displaystyle \operatorname {versin} (\theta )} vers ( θ ) {\displaystyle \operatorname {vers} (\theta )} ver ( θ ) {\displaystyle \operatorname {ver} (\theta )} 1 − cos ( θ ) {\displaystyle 1-\cos(\theta )} косинус-верзус vercosin ( θ ) {\displaystyle \operatorname {vercosin} (\theta )} 1 + cos ( θ ) {\displaystyle 1+\cos(\theta )} коверсинус coversin ( θ ) {\displaystyle \operatorname {coversin} (\theta )} cvs ( θ ) {\displaystyle \operatorname {cvs} (\theta )} 1 − sin ( θ ) {\displaystyle 1-\sin(\theta )} коверкосинус covercosin ( θ ) {\displaystyle \operatorname {covercosin} (\theta )} 1 + sin ( θ ) {\displaystyle 1+\sin(\theta )} гаверсинус haversin ( θ ) {\displaystyle \operatorname {haversin} (\theta )} 1 − cos ( θ ) 2 {\displaystyle {\frac {1-\cos(\theta )}{2}}} гаверкосинус havercosin ( θ ) {\displaystyle \operatorname {havercosin} (\theta )} 1 + cos ( θ ) 2 {\displaystyle {\frac {1+\cos(\theta )}{2}}} когаверсинус hacoversin ( θ ) {\displaystyle \operatorname {hacoversin} (\theta )} 1 − sin ( θ ) 2 {\displaystyle {\frac {1-\sin(\theta )}{2}}} когаверкосинус hacovercosin ( θ ) {\displaystyle \operatorname {hacovercosin} (\theta )} 1 + sin ( θ ) 2 {\displaystyle {\frac {1+\sin(\theta )}{2}}} ексеканс exsec ( θ ) {\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )} sec ( θ ) − 1 {\displaystyle \sec(\theta )-1} екскосеканс excsc ( θ ) {\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )} csc ( θ ) − 1 {\displaystyle \csc(\theta )-1} хорда crd ( θ ) {\displaystyle \operatorname {crd} (\theta )} 2 sin θ 2 {\displaystyle 2\sin {\frac {\theta }{2}}}
Значення тригонометричних функцій для найпоширеніших значень кутів (в радіанах) 0 {\displaystyle 0} π 6 {\displaystyle {\frac {\pi }{6}}} π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} π 3 {\displaystyle {\frac {\pi }{3}}} π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} 2 π 3 {\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}} 3 π 4 {\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}} 5 π 6 {\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}} π {\displaystyle \pi } 3 π 2 {\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}} sin α = {\displaystyle \sin \alpha =} 0 {\displaystyle 0} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} 1 {\displaystyle 1} 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 0 {\displaystyle 0} − 1 {\displaystyle -1} cos α = {\displaystyle \cos \alpha =} 1 {\displaystyle 1} 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 0 {\displaystyle 0} − 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} − 2 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}} − 3 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}} − 1 {\displaystyle -1} 0 {\displaystyle 0} tg α = {\displaystyle \operatorname {tg} \alpha =} 0 {\displaystyle 0} 3 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}} 1 {\displaystyle 1} 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} ± ∞ {\displaystyle \pm \infty } − 3 {\displaystyle -{\sqrt {3}}} − 1 {\displaystyle -1} − 3 3 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}} 0 {\displaystyle 0} ± ∞ {\displaystyle \pm \infty } ctg α = {\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha =\!} ± ∞ {\displaystyle \pm \infty } 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} 1 {\displaystyle 1} 3 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}} 0 {\displaystyle 0} − 3 3 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}} − 1 {\displaystyle -1} − 3 {\displaystyle -{\sqrt {3}}} ± ∞ {\displaystyle \pm \infty } 0 {\displaystyle 0}
В тих точках, де значення тангенса та котангенса прямують до нескінченності знак залежить від того з якого боку до цієї точки ми підходимо.
Для тангенса — якщо справа, то + ∞ {\displaystyle +\infty } , а якщо зліва, то − ∞ {\displaystyle -\infty } . Для котангенса навпаки.
Значення тригонометричних функцій для деяких кутів π 16 {\displaystyle {\frac {\pi }{16}}} π 15 {\displaystyle {\frac {\pi }{15}}} π 12 {\displaystyle {\frac {\pi }{12}}} π 10 {\displaystyle {\frac {\pi }{10}}} π 8 {\displaystyle {\frac {\pi }{8}}} π 5 {\displaystyle {\frac {\pi }{5}}} sin α = {\displaystyle \sin \alpha =} 2 − 2 + 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}} 10 + 2 5 + 3 ( 1 − 5 ) 8 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}(1-{\sqrt {5}})}{8}}} 2 − 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}{2}}} 5 − 1 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}} 2 − 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}} 5 − 5 8 {\displaystyle {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{8}}}} cos α = {\displaystyle \cos \alpha =} 2 + 2 + 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}} 3 10 + 2 5 + 5 − 1 8 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}-1}{8}}} 2 + 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}} 5 + 5 8 {\displaystyle {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{8}}}} 2 + 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}} 5 + 1 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}
Основні формули sin 2 α + cos 2 α = 1 {\displaystyle ~\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1} (1) tg 2 α + 1 = 1 cos 2 α = sec 2 α {\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }}=\operatorname {sec} ^{2}\alpha } (2) ctg 2 α + 1 = 1 sin 2 α = csc 2 α {\displaystyle \operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}=\operatorname {csc} ^{2}\alpha } (3)
Формула (1) є наслідком теореми Піфагора (Тригонометрична тотожність Піфагора ). Формули (2) і (3) добуваються діленням формули (1) на cos 2 α {\displaystyle \cos ^{2}\alpha } та sin 2 α {\displaystyle \sin ^{2}\alpha } відповідно.
Співвідношення між основними тригонометричними функціями[ ред. | ред. код ] Кожна з тригонометричних функцій виражена через п'ять інших. sin α {\displaystyle \sin \alpha \!} cos α {\displaystyle \cos \alpha \!} tg α {\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \!} csc α {\displaystyle \csc \alpha \!} sec α {\displaystyle \sec \alpha \!} ctg α {\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \!} sin α = {\displaystyle \sin \alpha =\!} sin α {\displaystyle \sin \alpha \ } ± 1 − cos 2 α {\displaystyle \pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}\!} ± tg α 1 + tg 2 α {\displaystyle \pm {\frac {\operatorname {tg} \alpha }{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}}\!} 1 csc α {\displaystyle {\frac {1}{\csc \alpha }}\!} ± sec 2 α − 1 sec α {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\alpha -1}}{\sec \alpha }}\!} ± 1 1 + ctg 2 α {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}}\!} cos α = {\displaystyle \cos \alpha =\!} ± 1 − sin 2 α {\displaystyle \pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}\!} cos α {\displaystyle \cos \alpha \!} ± 1 1 + tg 2 α {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}}\!} ± csc 2 α − 1 csc α {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\alpha -1}}{\csc \alpha }}\!} 1 sec α {\displaystyle {\frac {1}{\sec \alpha }}\!} ± ctg α 1 + ctg 2 α {\displaystyle \pm {\frac {\operatorname {ctg} \alpha }{\sqrt {1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}}\!} tg α = {\displaystyle \operatorname {tg} \alpha =\!} ± sin α 1 − sin 2 α {\displaystyle \pm {\frac {\sin \alpha }{\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}}\!} ± 1 − cos 2 α cos α {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}{\cos \alpha }}\!} tg α {\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \!} ± 1 csc 2 α − 1 {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\alpha -1}}}\!} ± sec 2 α − 1 {\displaystyle \pm {\sqrt {\sec ^{2}\alpha -1}}\!} 1 ctg α {\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {ctg} \alpha }}\!} csc α = {\displaystyle \csc \alpha =\!} 1 sin α {\displaystyle {\frac {1}{\sin \alpha }}\!} ± 1 1 − cos 2 α {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}}\!} ± 1 + tg 2 α tg α {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}{\operatorname {tg} \alpha }}\!} csc α {\displaystyle \csc \alpha \!} ± sec α sec 2 α − 1 {\displaystyle \pm {\frac {\sec \alpha }{\sqrt {\sec ^{2}\alpha -1}}}\!} ± 1 + ctg 2 α {\displaystyle \pm {\sqrt {1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}\!} sec α = {\displaystyle \sec \alpha =\!} ± 1 1 − sin 2 α {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}}\!} 1 cos α {\displaystyle {\frac {1}{\cos \alpha }}\!} ± 1 + tg 2 α {\displaystyle \pm {\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}\!} ± csc α csc 2 α − 1 {\displaystyle \pm {\frac {\csc \alpha }{\sqrt {\csc ^{2}\alpha -1}}}\!} sec α {\displaystyle \sec \alpha \!} ± 1 + ctg 2 α ctg α {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}{\operatorname {ctg} \alpha }}\!} ctg α = {\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha =\!} ± 1 − sin 2 α sin α {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}{\sin \alpha }}\!} ± cos α 1 − cos 2 α {\displaystyle \pm {\frac {\cos \alpha }{\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}}\!} 1 tg α {\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {tg} \alpha }}\!} ± csc 2 α − 1 {\displaystyle \pm {\sqrt {\csc ^{2}\alpha -1}}\!} ± 1 sec 2 α − 1 {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\alpha -1}}}\!} ctg α {\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \!}
Сукупність формул, що відображають симетрію тригонометричних функцій відносно певних значень кутів, перетворення при зсуві аргументу на деякий кут, а також періодичність тригонометричних функцій.
Виконуються такі співвідношення:
Симетрія відносно кута α = 0 {\displaystyle \alpha =0} Симетрія відносно α = π / 2 {\displaystyle \alpha =\pi /2} (співвідношення між ко-функціями) Симетрія відносно α = π {\displaystyle \alpha =\pi } sin ( − α ) = − sin α cos ( − α ) = + cos α tg ( − α ) = − tg α csc ( − α ) = − csc α sec ( − α ) = + sec α ctg ( − α ) = − ctg α {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-\alpha )&=-\sin \alpha \\\cos(-\alpha )&=+\cos \alpha \\\operatorname {tg} (-\alpha )&=-\operatorname {tg} \alpha \\\csc(-\alpha )&=-\csc \alpha \\\sec(-\alpha )&=+\sec \alpha \\\operatorname {ctg} (-\alpha )&=-\operatorname {ctg} \alpha \\\end{aligned}}} sin ( π 2 − α ) = + cos α cos ( π 2 − α ) = + sin α tg ( π 2 − α ) = + ctg α csc ( π 2 − α ) = + sec α sec ( π 2 − α ) = + csc α ctg ( π 2 − α ) = + tg α {\displaystyle {\begin{aligned}\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )&=+\cos \alpha \\\cos({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )&=+\sin \alpha \\\operatorname {tg} ({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )&=+\operatorname {ctg} \alpha \\\csc({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )&=+\sec \alpha \\\sec({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )&=+\csc \alpha \\\operatorname {ctg} ({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )&=+\operatorname {tg} \alpha \\\end{aligned}}} sin ( π − α ) = + sin α cos ( π − α ) = − cos α tg ( π − α ) = − tg α csc ( π − α ) = + csc α sec ( π − α ) = − sec α ctg ( π − α ) = − ctg α {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\pi -\alpha )&=+\sin \alpha \\\cos(\pi -\alpha )&=-\cos \alpha \\\operatorname {tg} (\pi -\alpha )&=-\operatorname {tg} \alpha \\\csc(\pi -\alpha )&=+\csc \alpha \\\sec(\pi -\alpha )&=-\sec \alpha \\\operatorname {ctg} (\pi -\alpha )&=-\operatorname {ctg} \alpha \\\end{aligned}}}
Співвідношення часто використовують для спрощення обчислень.
Зсув на π/2 Зсув на π Період tg і ctg Зсув на 2π Період sin, cos, csc і sec sin ( α + π 2 ) = + cos α cos ( α + π 2 ) = − sin α t g ( α + π 2 ) = − ctg α csc ( α + π 2 ) = + sec α sec ( α + π 2 ) = − csc α c t g ( α + π 2 ) = − tg α {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\cos \alpha \\\cos(\alpha +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\sin \alpha \\\mathrm {tg} (\alpha +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\operatorname {ctg} \alpha \\\csc(\alpha +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\sec \alpha \\\sec(\alpha +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\csc \alpha \\\mathrm {ctg} (\alpha +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\operatorname {tg} \alpha \end{aligned}}} sin ( α + π ) = − sin α cos ( α + π ) = − cos α t g ( α + π ) = + tg α csc ( α + π ) = − csc α sec ( α + π ) = − sec α c t g ( α + π ) = + ctg α {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha +\pi )&=-\sin \alpha \\\cos(\alpha +\pi )&=-\cos \alpha \\\mathrm {tg} (\alpha +\pi )&=+\operatorname {tg} \alpha \\\csc(\alpha +\pi )&=-\csc \alpha \\\sec(\alpha +\pi )&=-\sec \alpha \\\mathrm {ctg} (\alpha +\pi )&=+\operatorname {ctg} \alpha \\\end{aligned}}} sin ( α + 2 π ) = + sin α cos ( α + 2 π ) = + cos α t g ( α + 2 π ) = + tg α csc ( α + 2 π ) = + csc α sec ( α + 2 π ) = + sec α c t g ( α + 2 π ) = + ctg α {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha +2\pi )&=+\sin \alpha \\\cos(\alpha +2\pi )&=+\cos \alpha \\\mathrm {tg} (\alpha +2\pi )&=+\operatorname {tg} \alpha \\\csc(\alpha +2\pi )&=+\csc \alpha \\\sec(\alpha +2\pi )&=+\sec \alpha \\\mathrm {ctg} (\alpha +2\pi )&=+\operatorname {ctg} \alpha \end{aligned}}}
Візуалізація формули (6) Формули для суми аргументів sin ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β {\displaystyle \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta } (5) cos ( α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β {\displaystyle \cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta } (6) t g ( α ± β ) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α t g β {\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\mathop {\mathrm {tg} } \alpha \pm \mathop {\mathrm {tg} } \beta }{1\mp \mathop {\mathrm {tg} } \alpha \mathop {\mathrm {tg} } \beta }}} (7) ctg ( α ± β ) = c t g α c t g β ∓ 1 c t g α ± c t g β {\displaystyle \operatorname {ctg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\mathop {\mathrm {ctg} } \alpha \mathop {\mathrm {ctg} } \beta \mp 1}{\mathop {\mathrm {ctg} } \alpha \pm \mathop {\mathrm {ctg} } \beta }}}
Формула (7) отримана діленням (5) на (6) .
sin ( ∑ i = 1 ∞ α i ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ∑ A ⊆ { 1 , 2 , 3 , … } | A | = 2 k + 1 ( ∏ i ∈ A sin α i ∏ i ∉ A cos α i ) , {\displaystyle \sin \left(\sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=2k+1\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \alpha _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \alpha _{i}\right),} cos ( ∑ i = 1 ∞ α i ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ∑ A ⊆ { 1 , 2 , 3 , … } | A | = 2 k ( ∏ i ∈ A sin α i ∏ i ∉ A cos α i ) . {\displaystyle \cos \left(\sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }~(-1)^{k}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=2k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \alpha _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \alpha _{i}\right).} У правих частинах рівності суму взято по всіх підмножинах натуральних чисел з 2k+1 або 2k елементів відповідно.
Нехай e k = e k ( x 1 , … , x n ) , k = 0 , 1 , 2 , … , n = 1 , 2 , 3 … , {\displaystyle e_{k}=e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\,k=0,1,2,\ldots ,n=1,2,3\ldots ,} — елементарні симетричні многочлени степеня k від n змінних
x i = tg α i i = 1 , 2 , … , n . {\displaystyle x_{i}=\operatorname {tg} \alpha _{i}\quad i=1,2,\ldots ,n.} Наприклад:
e 0 = 1 , {\displaystyle e_{0}=1,} e 1 = ∑ i = 1 n x i = ∑ i tg α i , {\displaystyle e_{1}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}=\sum _{i}\operatorname {tg} \alpha _{i},} e 2 = ∑ 1 ≤ i < j ≤ n x i x j = ∑ i < j tg α i tg α j , {\displaystyle e_{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}=\sum _{i<j}\operatorname {tg} \alpha _{i}\operatorname {tg} \alpha _{j},} e 3 = ∑ 1 ≤ i < j < k ≤ n x i x j x k = ∑ i < j < k tg α i tg α j tg α k . {\displaystyle e_{3}=\sum _{1\leq i<j<k\leq n}x_{i}x_{j}x_{k}=\sum _{i<j<k}\operatorname {tg} \alpha _{i}\operatorname {tg} \alpha _{j}\operatorname {tg} \alpha _{k}.} Тоді
tg ( ∑ i = 1 2 k α i ) = e 1 − e 3 + e 5 − ⋯ + ( − 1 ) k + 1 e 2 k − 1 e 0 − e 2 + e 4 − ⋯ + ( − 1 ) k e 2 k = ∑ i = 1 k ( − 1 ) i + 1 e 2 i − 1 ∑ i = 0 k ( − 1 ) i e 2 i , {\displaystyle \operatorname {tg} \left(\sum _{i=1}^{2k}\alpha _{i}\right)={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots +(-1)^{k+1}e_{2k-1}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots +(-1)^{k}e_{2k}}}={\frac {\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}e_{2i-1}}{\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{2i}}},\!} tg ( ∑ i = 1 2 k + 1 α i ) = e 1 − e 3 + e 5 − ⋯ + ( − 1 ) k e 2 k + 1 e 0 − e 2 + e 4 − ⋯ + ( − 1 ) k e 2 k = ∑ i = 1 k ( − 1 ) i e 2 i + 1 ∑ i = 0 k ( − 1 ) i e 2 i . {\displaystyle \operatorname {tg} \left(\sum _{i=1}^{2k+1}\alpha _{i}\right)={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots +(-1)^{k}e_{2k+1}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots +(-1)^{k}e_{2k}}}={\frac {\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i}e_{2i+1}}{\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{2i}}}.\!} Наприклад:
t g ( α 1 + α 2 ) = e 1 e 0 − e 2 = x 1 + x 2 1 − x 1 x 2 = t g α 1 + t g α 2 1 − t g α 1 t g α 2 , t g ( α 1 + α 2 + α 3 ) = e 1 − e 3 e 0 − e 2 = ( x 1 + x 2 + x 3 ) − ( x 1 x 2 x 3 ) 1 − ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) = t g α 1 + t g α 2 + t g α 3 − t g α 1 t g α 2 t g α 3 1 − ( t g α 1 t g α 2 + t g α 1 t g α 3 + t g α 2 t g α 3 ) , t g ( α 1 + α 2 + α 3 + α 4 ) = e 1 − e 3 e 0 − e 2 + e 4 = ( x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) − ( x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + x 1 x 3 x 4 + x 2 x 3 x 4 ) 1 − ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 2 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 4 ) + ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {tg} (\alpha _{1}+\alpha _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\mathrm {tg} \,\alpha _{1}+\mathrm {tg} \,\alpha _{2}}{1\ -\ \mathrm {tg} \,\alpha _{1}\mathrm {tg} \,\alpha _{2}}},\\[8pt]\mathrm {tg} (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}}={\frac {\mathrm {tg} \,\alpha _{1}+\mathrm {tg} \,\alpha _{2}+\mathrm {tg} \,\alpha _{3}-\mathrm {tg} \,\alpha _{1}\mathrm {tg} \,\alpha _{2}\mathrm {tg} \,\alpha _{3}}{1-(\mathrm {tg} \,\alpha _{1}\,\mathrm {tg} \,\alpha _{2}+\mathrm {tg} \,\alpha _{1}\,\mathrm {tg} \,\alpha _{3}+\mathrm {tg} \,\alpha _{2}\mathrm {tg} \,\alpha _{3})}},\\[8pt]\mathrm {tg} (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}+\alpha _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}}\end{aligned}}} і так далі.
sec ( ∑ i n α i ) = ∏ i n sec α i e 0 − e 2 + e 4 − ⋯ = ∏ i n sec α i ∑ 0 ≤ 2 k ≤ n ( − 1 ) k e 2 k csc ( ∑ i n α i ) = ∏ i n sec α i e 1 − e 3 + e 5 − ⋯ = ∏ i n sec α i ∑ 1 ≤ 2 k + 1 ≤ n ( − 1 ) k e 2 k + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\sec \left(\sum _{i}^{n}\alpha _{i}\right)&={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}}{\displaystyle \sum _{0\leq 2k\leq n}(-1)^{k}e_{2k}}}\\[8pt]\csc \left(\sum _{i}^{n}\alpha _{i}\right)&={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}}{\displaystyle \sum _{1\leq 2k+1\leq n}(-1)^{k}e_{2k+1}}}\end{aligned}}} де e k — елементарні симетричні многочлени степеня k від n змінних (дивись пункт тангенси від сум аргументів )
x i = tg α i i = 1 , 2 , … , n . {\displaystyle x_{i}=\operatorname {tg} \alpha _{i}\quad i=1,2,\ldots ,n.} Наприклад,
sec ( α + β + γ ) = sec α sec β sec γ 1 − t g α t g β − t g α t g γ − t g β t g γ , csc ( α + β + γ ) = sec α sec β sec γ t g α + t g β + t g γ − t g α t g β tg γ . {\displaystyle {\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\mathrm {tg} \,\alpha \,\mathrm {tg} \,\beta -\mathrm {tg} \,\alpha \,\mathrm {tg} \,\gamma -\mathrm {tg} \,\beta \,\mathrm {tg} \,\gamma }},\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\mathrm {tg} \,\alpha +\mathrm {tg} \,\beta +\mathrm {tg} \,\gamma -\mathrm {tg} \,\alpha \,\mathrm {tg} \,\beta \operatorname {tg} \gamma }}.\end{aligned}}} Формули подвійного кута виведені з формул (5) , (6) і (7) , якщо взяти кут β рівним α:
Формули подвійного кута s i n 2 α = 2 sin α cos α {\displaystyle \mathop {\mathrm {sin} } 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha } (23) c o s 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − t g 2 α 1 + t g 2 α {\displaystyle \mathop {\mathrm {cos} } 2\alpha ={\cos ^{2}\alpha }-{\sin ^{2}\alpha }=2\cos ^{2}\alpha -1={1-2\operatorname {sin} ^{2}\alpha }={\frac {1-\mathop {\mathrm {tg} } ^{2}\alpha }{1+\mathop {\mathrm {tg} } ^{2}\alpha }}} (24) t g 2 α = 2 t g α 1 − t g 2 α = 2 ctg α − tg α {\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \,2\alpha ={\frac {2\mathop {\mathrm {tg} } \alpha }{1-\mathop {\mathrm {tg} } ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {tg} \alpha }}} (25) c t g 2 α = c t g 2 α − 1 2 c t g α = ctg α − tg α 2 {\displaystyle \mathop {\mathrm {ctg} } \,2\alpha ={\frac {\mathop {\mathrm {ctg} } ^{2}\alpha -1}{2\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {tg} \alpha }{2}}}
Формули потрійного кута sin 3 α = 3 sin α − 4 sin 3 α = 4 sin α sin ( π 3 − α ) sin ( π 3 + α ) {\displaystyle \sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha =4\sin \alpha \sin \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)\,} cos 3 α = 4 cos 3 α − 3 cos α = 4 cos α cos ( π 3 − α ) cos ( π 3 + α ) {\displaystyle \cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha =4\cos \alpha \cos \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)\,} tg 3 α = 3 tg α − tg 3 α 1 − 3 tg 2 α = t g α tg ( π 3 − α ) tg ( π 3 + α ) {\displaystyle \operatorname {tg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}=\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)} ctg 3 α = 3 ctg α − ctg 3 α 1 − 3 ctg 2 α = c t g α ctg ( π 3 − α ) ctg ( π 3 + α ) {\displaystyle \operatorname {ctg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {ctg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}=\mathrm {ctg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)}
Формули кратних кутів sin ( n α ) = ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) cos n − 2 k − 1 α sin 2 k + 1 α {\displaystyle \sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{n-2k-1}\alpha \,\sin ^{2k+1}\alpha } cos ( n α ) = ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) cos n − 2 k α sin 2 k α {\displaystyle \cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}\alpha \,\sin ^{2k}\alpha } t g ( n α ) = sin ( n α ) cos ( n α ) = ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) tg 2 k + 1 α ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) tg 2 k α {\displaystyle \mathrm {tg} (n\alpha )={\frac {\sin(n\alpha )}{\cos(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\operatorname {tg} ^{2k+1}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\operatorname {tg} ^{2k}\alpha }}}} c t g ( n α ) = cos ( n α ) sin ( n α ) = ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) ctg n − 2 k α ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) ctg n − 2 k − 1 α {\displaystyle \mathrm {ctg} (n\alpha )={\frac {\cos(n\alpha )}{\sin(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\operatorname {ctg} ^{n-2k}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\operatorname {ctg} ^{n-2k-1}\alpha }}}}
де [ n ] {\displaystyle [n]} — ціла частина числа n {\displaystyle n} , ( n k ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}} — біноміальний коефіцієнт .
Вивід формул
Формули для кратних кутів виводяться за допомогою формули Муавра
( cos α + i sin α ) n = cos ( n α ) + i sin ( n α ) , i 2 = − 1. {\displaystyle \left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right)^{n}=\cos \left(n\alpha \right)+i\sin \left(n\alpha \right),\quad i^{2}=-1.} Розкриємо праву частину рівності за формулою бінома Ньютона
( cos α + i sin α ) n = ∑ q = 0 n ( n q ) ( cos α ) n − q ( i sin α ) q . {\displaystyle \left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right)^{n}=\sum _{q=0}^{n}{n \choose q}(\cos \alpha )^{n-q}(i\sin \alpha )^{q}.} Врахувавши, що i 2 k = ( − 1 ) k , i 2 k + 1 = ( − 1 ) k i , k ∈ Z + , {\displaystyle i^{2k}=(-1)^{k},\,i^{2k+1}=(-1)^{k}i,\,k\in \mathbb {Z} _{+},} та виділивши окремо дійсну та уявну частини, рівність запишемо у вигляді
( cos α + i sin α ) n = ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( n 2 k ) ( − 1 ) k ( cos α ) n − 2 k ( sin α ) 2 k + i ( ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( n 2 k + 1 ) ( − 1 ) k ( cos α ) n − 2 k − 1 ( sin α ) 2 k + 1 ) . {\displaystyle \left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right)^{n}=\sum _{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k}(-1)^{k}(\cos \alpha )^{n-2k}(\sin \alpha )^{2k}+i\left(\sum _{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k+1}(-1)^{k}(\cos \alpha )^{n-2k-1}(\sin \alpha )^{2k+1}\right).} Підставимо отриману рівність у формулу Муавра
∑ k = 0 [ n / 2 ] ( n 2 k ) ( − 1 ) k ( cos α ) n − 2 k ( sin α ) 2 k + i ( ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( n 2 k + 1 ) ( − 1 ) k ( cos α ) n − 2 k − 1 ( sin α ) 2 k + 1 ) = cos ( n α ) + i sin ( n α ) . {\displaystyle \sum _{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k}(-1)^{k}(\cos \alpha )^{n-2k}(\sin \alpha )^{2k}+i\left(\sum _{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k+1}(-1)^{k}(\cos \alpha )^{n-2k-1}(\sin \alpha )^{2k+1}\right)=\cos \left(n\alpha \right)+i\sin \left(n\alpha \right).} Оскільки два комплексні числа рівні тоді і лише тоді коли рівні їхні дійсні та уявні частини, то з останньої рівності отримуємо шукані формули
sin ( n α ) = ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) cos n − 2 k − 1 α sin 2 k + 1 α , {\displaystyle \sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{n-2k-1}\alpha \,\sin ^{2k+1}\alpha ,} cos ( n α ) = ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) cos n − 2 k α sin 2 k α . {\displaystyle \cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}\alpha \,\sin ^{2k}\alpha .} sin ( n + 1 ) α = 2 sin α cos n α + sin ( n − 1 ) α , {\displaystyle \sin(n+1)\alpha =2\sin \alpha \cos n\alpha +\sin(n-1)\alpha ,} cos ( n + 1 ) α = 2 cos α cos n α + cos ( n − 1 ) α . {\displaystyle \cos(n+1)\alpha =2\cos \alpha \cos n\alpha +\cos(n-1)\alpha .} t g ( n + 1 ) α = t g ( n α ) + tg α 1 − t g ( n α ) tg α . {\displaystyle \mathrm {tg} (n+1)\alpha ={\frac {\mathrm {tg} (n\alpha )+\operatorname {tg} \alpha }{1-\mathrm {tg} (n\alpha )\operatorname {tg} \alpha }}.} c t g ( n + 1 ) α = c t g ( n α ) ctg α − 1 c t g ( n α ) + ctg α . {\displaystyle \mathrm {ctg} (n+1)\alpha ={\frac {\mathrm {ctg} (n\alpha )\operatorname {ctg} \alpha -1}{\mathrm {ctg} (n\alpha )+\operatorname {ctg} \alpha }}.} Мають місце такі співвідношення:
cos n α = T n ( cos α ) , sin 2 n α = 1 − T n ( 1 − 2 sin 2 α ) 2 , {\displaystyle \cos n\alpha =T_{n}(\cos \alpha ),\quad \sin ^{2}n\alpha ={\frac {1-T_{n}(1-2\sin ^{2}\alpha )}{2}},} де T n ( x ) {\displaystyle T_{n}(x)} — поліном Чебишова першого роду степеня n.
sin 2 m α = 2 m sin α cos α ∏ k = 1 m − 1 ( 1 − sin 2 α sin 2 π k 2 m ) , cos 2 m α = ∏ k = 1 m ( 1 − sin 2 α sin 2 π ( 2 k − 1 ) 4 m ) , m ∈ N , {\displaystyle \sin 2m\alpha =2m\sin \alpha \cos \alpha \prod _{k=1}^{m-1}\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\pi k}{2m}}}}\right),\quad \cos 2m\alpha =\prod _{k=1}^{m}\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\pi (2k-1)}{4m}}}}\right),\quad m\in \mathbb {N} ,}
sin ( 2 m − 1 ) α = ( 2 m − 1 ) sin α ∏ k = 1 m − 1 ( 1 − sin 2 α sin 2 π k 2 m − 1 ) , cos ( 2 m − 1 ) α = cos α ∏ k = 1 m ( 1 − sin 2 α sin 2 π ( 2 k − 1 ) 2 ( 2 m − 1 ) ) , m ∈ N , {\displaystyle \sin(2m-1)\alpha =(2m-1)\sin \alpha \prod _{k=1}^{m-1}\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\pi k}{2m-1}}}}\right),\quad \cos(2m-1)\alpha =\cos \alpha \prod _{k=1}^{m}\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\pi (2k-1)}{2(2m-1)}}}}\right),\quad m\in \mathbb {N} ,}
sin n α = 2 n − 1 ∏ k = 0 n − 1 sin ( α + k π n ) , cos n α = 2 n − 1 ∏ k = 1 n sin ( α + ( 2 k − 1 ) π 2 n ) . {\displaystyle \sin n\alpha =2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left(\alpha +{\frac {k\pi }{n}}\right),\quad \cos n\alpha =2^{n-1}\prod _{k=1}^{n}\sin \left(\alpha +{\frac {(2k-1)\pi }{2n}}\right).} Формули половинного кута sin α 2 = ± 1 − cos α 2 {\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}\,} cos α 2 = ± 1 + cos α 2 {\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}\,} tg α 2 = ± 1 − cos α 1 + cos α = 1 − cos α sin α = sin α 1 + cos α {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }}\,} ctg α 2 = ± 1 + cos α 1 − cos α = sin α 1 − cos α = 1 + cos α sin α {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}}={\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}={\frac {1+\cos \alpha }{\sin \alpha }}\,}
Знак перед виразом обрано відповідно до того, до якого квадранту належить кут α 2 {\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}} .
Формули пониження степеня виведені з формул подвійного кута :
Синус Косинус Інше sin 2 α = 1 − cos 2 α 2 {\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}} cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 {\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}} sin 2 α cos 2 α = 1 − cos 4 α 8 {\displaystyle \sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 4\alpha }{8}}} sin 3 α = 3 sin α − sin 3 α 4 {\displaystyle \sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\alpha }{4}}} cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 {\displaystyle \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\alpha }{4}}} sin 3 α cos 3 α = 3 sin 2 α − sin 6 α 32 {\displaystyle \sin ^{3}\alpha \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\sin 2\alpha -\sin 6\alpha }{32}}} sin 4 α = 3 − 4 cos 2 α + cos 4 α 8 {\displaystyle \sin ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}} cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8 {\displaystyle \cos ^{4}\alpha ={\frac {3+4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}} sin 4 α cos 4 α = 3 − 4 cos 4 α + cos 8 α 128 {\displaystyle \sin ^{4}\alpha \cos ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 4\alpha +\cos 8\alpha }{128}}} sin 5 α = 10 sin α − 5 sin 3 α + sin 5 α 16 {\displaystyle \sin ^{5}\alpha ={\frac {10\sin \alpha -5\sin 3\alpha +\sin 5\alpha }{16}}} cos 5 α = 10 cos α + 5 cos 3 α + cos 5 α 16 {\displaystyle \cos ^{5}\alpha ={\frac {10\cos \alpha +5\cos 3\alpha +\cos 5\alpha }{16}}} sin 5 α cos 5 α = 10 sin 2 α − 5 sin 6 α + sin 10 α 512 {\displaystyle \sin ^{5}\alpha \cos ^{5}\alpha ={\frac {10\sin 2\alpha -5\sin 6\alpha +\sin 10\alpha }{512}}}
Загальні формули пониження степеня sin 2 n α = 1 2 2 n − 1 ( ( 2 n n ) + ∑ k = 0 n ( − 1 ) n + k ( 2 n k ) cos 2 ( n − k ) α ) {\displaystyle \sin ^{2n}\alpha ={\frac {1}{2^{2n-1}}}\left({\binom {2n}{n}}+\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n+k}{\binom {2n}{k}}\cos 2(n-k)\alpha \right)\,} sin 2 n + 1 α = 1 2 2 n ∑ k = 0 n ( − 1 ) n + k ( 2 n + 1 k ) sin ( 2 ( n − k ) + 1 ) α {\displaystyle \sin ^{2n+1}\alpha ={\frac {1}{2^{2n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n+k}{\binom {2n+1}{k}}\sin(2(n-k)+1)\alpha } cos 2 n α = 1 2 2 n ( ( 2 n n ) + 2 ∑ k = 0 n − 1 ( 2 n k ) cos 2 ( n − k ) α ) {\displaystyle \cos ^{2n}\alpha ={\frac {1}{2^{2n}}}\left({\binom {2n}{n}}+2\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {2n}{k}}\cos 2(n-k)\alpha \right)} cos 2 n + 1 α = 1 2 2 n ∑ k = 0 n ( 2 n + 1 k ) cos ( 2 ( n − k ) + 1 ) α {\displaystyle \cos ^{2n+1}\alpha ={\frac {1}{2^{2n}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {2n+1}{k}}\cos(2(n-k)+1)\alpha }
де ( n k ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}} — біноміальний коефіцієнт .
Формули перетворення добутків функцій sin α sin β = cos ( α − β ) − cos ( α + β ) 2 {\displaystyle \sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}}} (28) sin α cos β = sin ( α + β ) + sin ( α − β ) 2 {\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )}{2}}} (29) cos α cos β = cos ( α + β ) + cos ( α − β ) 2 {\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )}{2}}} (30) tg α tg β = cos ( α − β ) − cos ( α + β ) cos ( α + β ) + cos ( α − β ) {\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )}}} cos α cos β cos γ = cos ( α + β + γ ) + cos ( α − β + γ ) + cos ( α + β − γ ) + cos ( β + γ − α ) 4 {\displaystyle \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\cos(\alpha +\beta +\gamma )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )+\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )}{4}}} (31) sin α cos β cos γ = sin ( α + β + γ ) + sin ( α − β + γ ) + sin ( α + β − γ ) − sin ( β + γ − α ) 4 {\displaystyle \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta +\gamma )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )+\sin(\alpha +\beta -\gamma )-\sin(\beta +\gamma -\alpha )}{4}}} (32) sin α sin β cos γ = − cos ( α + β + γ ) + cos ( α − β + γ ) − cos ( α + β − γ ) − cos ( β + γ − α ) 4 {\displaystyle \,\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma ={\frac {-\cos(\alpha +\beta +\gamma )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )-\cos(\alpha +\beta -\gamma )-\cos(\beta +\gamma -\alpha )}{4}}} (33) sin α sin β sin γ = − sin ( α + β + γ ) + sin ( α − β + γ ) + sin ( α + β − γ ) + sin ( β + γ − α ) 4 {\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ={\frac {-\sin(\alpha +\beta +\gamma )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )+\sin(\alpha +\beta -\gamma )+\sin(\beta +\gamma -\alpha )}{4}}}